Question

Para encontrar y′ derivando implicitamente a equação $cos(x - y)=xe^{x}$
, escolha os passos corretos da resolução e coloque-os em ordem e se houver algum passo incorreto identifique-o:

$I. 1 - y' = - \frac{(x+1)e^{x} }{sen(x - y)} \\\\II.- sen(x - y)(1 - y') = xe^{x} + e^{x}\\\\III. - sen(x - y)y'=xe^{x} + e^{x} \\\\IV.y'=\frac{(x+1)e^{x} }{sen(x - y)} \\\\V. y'=1 + \frac{(x+1)e^{x} }{sen(x - y)}$

Answer 1

Temos a seguinte equação:

$\cos(x - y)=xe^{x}$

A questão quer saber qual a derivada dessa equação. Primeiro vamos lembrar que a derivada implicita não é nada mais nada menos que uma função composta, ou seja, é necessário aplicar a regra da cadeia, sendo mais específico, a regra deve ser aplicada em "y", já que a mesma é uma funcão de "x". Derivando:

$\frac{d}{dx} \cos(x - y) = \frac{d}{dx} x.e {}^{x}$

Note que no segundo membro será necessário usar a regra do produto dada por:

$\boxed{\frac{d}{dx} ((f(x).g(x)) = \frac{d}{dx}( f(x)).g(x) + f(x)\frac{d}{dx} g(x)}$

Além da regra do produto, também usaremos a regra da cadeia no primeiro membro, ou seja, vamos derivar a função e multiplicar pela derivada da função de dentro do parêntese:

$- \sin(x - y).\frac{d}{dx} (x - y) = \frac{d}{dx}(x). e {}^{x} + x. \frac{d}{dx} e {}^{x} \\ \\ - \sin(x - y). \left(\frac{d}{dx} x - \frac{d}{dx}y \right) = 1.e {}^{x} + x.e {}^{x} \: \: \: \: \: \: \\ \\ - \sin(x - y) . \left(1 - 1. \frac{dy}{dx} \right) = e {}^{x} + x.e {}^{x} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ - \sin (x - y) + \sin(x - y). \frac{dy}{dx} = e {}^{x} + x.e {}^{x} \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sin(x - y). \frac{dy}{dx} = \sin(x - y) + e {}^{x} + x.e {}^{x} \: \: \: \: \\ \\ \boxed{\boxed{\frac{dy}{dx} = \frac{\sin( x - y) + e {}^{x} + x.e {}^{x} }{ \sin( x - y)}}}$

Espero ter ajudado