Question

Para encontrar a derivada parcial de uma função f(x, y) com relação a x, basta olhar y como uma constante e diferenciar f(x, y) com relação a x. Por sua vez, para encontrar a derivada parcial da função f(x, y) com relação a y, basta olhar x como uma constante e diferenciar f(x, y) com relação a y. Considerando a função f(x, y) = x2 + xy2 - 2y, leia as afirmativas que seguem, e assinale (V) para as verdadeiras e (F) para as falsas:

( ) fx = 2x + y2.
( ) fy = 2xy + 2.
( ) fxx = 2.
( ) fyy = 2x.

Assinale a correta associação:
Alternativas

Alternativa 1:
V, F, V, V.

Alternativa 2:
V, V, F, V.

Alternativa 3:
V, V, V, F.

Alternativa 4:
F, F, V, V.

Alternativa 5:
V, V, V, V.

Answer 1

Resposta:

Explicação passo a passo:

Dada f(x, y) = x² + xy² - 2y, então

d(x, y)/dx = 2x + y²

d(x, y)/dxx = 2

d(x, y)/dy = 2xy - 2

d(x, y)/dyy = 2x

Assim

( V )

( F )

( V )

( V )

Alternativa 1

Answer 2

A única afirmação incorreta é sobre Fy, pois o sinal se encontra invertido. Assim, a sequência correta de preenchimento é V, F, V, V, o que torna correta a alternativa 1.

Para resolvermos essa questão, devemos aprender que derivadas parciais são úteis em áreas como cálculo diferencial pois elas permitem descobrir a variação de uma função com mais de uma variável em relação a apenas uma dessas variáveis.

Com isso, para derivarmos uma função de forma parcial, devemos realizar a derivação apenas dos termos que possuem a variável, mantendo as outras variáveis que aparecem no mesmo termo como constantes.

Assim, obtemos as seguintes derivadas de primeira e segunda ordem para a função f(x, y) = x² + xy² - 2y:

• Fx = 2x + y²
• Fy = 2yx - 2
• Fxx = 2
• Fyy = 2x

Com isso, podemos observar que a única afirmação incorreta é sobre Fy, pois o sinal se encontra invertido. Assim, a sequência correta de preenchimento é V, F, V, V, o que torna correta a alternativa 1.

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