Question

Para disputar a final de um torneio internacional de natação, classificaram-se 8 atletas: 3 norte-americanos, 1australiano, 1 japonês, 1 francês e 2 brasileiros. Considerando que todos os atletas classificados são ótimos e têm iguaiscondições de receber uma medalha (de ouro, prata ou bronze), a probabilidade de que pelo menos um brasileiro estejaentre os três primeiros colocados é igual

Answer 1

$A_{(n,p)} \ = \ \dfrac{n!}{(n \ - \ p)!} \ \rightarrow \\ \\ \\ A_{(n,p)} \ \longrightarrow \ Arranjo \ de \ n \ elementos \ em \ p \ vagas \\ \text{} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (permuta\c{c}\~oes \ internas \ consideradas).$
$C_{(n,p)} \ = \ \dfrac{n!}{(n \ - \ p)! \ \cdot \ p!} \ \rightarrow \\ \\ \\ C_{(n,p)} \ \longrightarrow \ Combina\c{c}\~ao \ de \ n \ elementos \ em \ p \ vagas \\ \text{} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (permuta\c{c}\~oes \ internas \ descontadas \ por \ p!).$

$P_{(n)} \ = \ n! \ \rightarrow \\ \\ P_{(n)} \ \rightarrow \ Permuta\c{c}\~oes \ de \ n \ elementos \ n\~ao \ repetidos.$
$p \ = \ \dfrac{n}{T} \ \rightarrow \\ \\ p \ \rightarrow \ Probabilidade; \\ n \ \rightarrow \ Possibilidades \ favor\'aveis ; \\ T \ \rightarrow \ Possibilidades \ totais.$

$Possibilidades \ totais \ \Rrightarrow \\ \\ Vamos \ livremente \ arranjar \ n \ = \ 8 \ atletas \ em \ p \ = \ 3 \ vagas \\ p\'odio, \ lembrando \ que \ no \ mesmo \ as \ ordena\c{c}\~oes \ importam \\ : \\ T \ = \ A_{(8,3)} \ \rightarrow \\ \\ \\ T \ = \ \dfrac{8!}{(8 \ - \ 3)!} \ \rightarrow \\ \\ \\ T \ = \ \dfrac{8!}{5!} \ \rightarrow \\ \\ \\ T \ = \ \dfrac{8 \ \cdot \ 7 \ \cdot \ 6 \ \cdot \ \not{5!}}{\not{5!}} \ \rightarrow \\ \\ \\ \boxed{T \ = \ 8 \ \cdot \ 7 \ \cdot \ 6 \ \ possibilidades \ totais!}$

$Possibilidades \ favor\'aveis \ \Rrightarrow \\ \\ Vamos \ nos \ atentar \ \`a \ cl\'ausula \ \bold{pelo \ menos.} \\ \\ Podemos \ ter \ desde \ apenas \ 1 \ brasileiro \ ocupando \ alguma \ posi\c{c}\~ao \\ do \ p\'odio \ at\'e \ os \ 2 \ brasileiros \ no \ p\'odio.$

$\longrightarrow \ Apenas \ 1 \ brasileiro \ \Rrightarrow \\ \\ \circ \ Vamos, \ por \ combina\c{c}\~ao, \ escolher \ p \ = \ 1 \ brasileiro \ de \ n \ = \ 2; \\ \\ \bullet \ Vamos, \ por \ combina\c{c}\~ao, \ escolher \ p \ = \ 2 \ atletas \ para \ compor \\ as \ outras \ vagas \ do \ p\'odio \ de \ p \ = \ 6 \ n\~ao \ brasileiros; \\ \\ \circ \ Vamos \ permutar \ todos \ os \ tr\^es \ elementos \ escolhidos \ no \ p\'odio.$

$\underbrace{C_{(2,1)}}_{escolha \ do \ BR} \ \underbrace{\cdot}_{e} \ \underbrace{C_{(6,2)}}_{escolha \ dos \ n\~ao \ BR} \ \underbrace{\cdot}_{e} \ \underbrace{P_{(3)}}_{Permuta\c{c}\~oes \ no \ p\'odio} \ = \\ \\ \\ \\ \dfrac{\not{2!}}{1! \ \cdot \ 1!} \ \cdot \ \dfrac{6!}{4! \ \cdot \ \not{2!}} \ \cdot \ 3! \ \ =$$\dfrac{6 \ \cdot \ 5 \ \cdot \ \not{4!}}{\not{4!}} \ \cdot \ 3 \ \cdot \ 2 \ \cdot \ 1 \ = \\ \\ \\ \boxed{180 \ possibilidades \ com \ 1 \ brasileiro \ apenas \ no \ p\'odio!}$

$\longrightarrow \ Fixando \ os \ 2 \ brasileiros \ \Rrightarrow \\ \\ \circ \ Vamos, \ \bold{fixar} \ os \ 2 \ brasileiros \ no \ p\'odio; \\ \\ \bullet \ Vamos, \ por \ combina\c{c}\~ao, \ escolher \ p \ = \ 1 \ atleta \ para \ compor \\ a \ outra \ vaga \ do \ p\'odio \ de \ p \ = \ 6 \ n\~ao \ brasileiros; \\ \\ \circ \ Vamos \ permutar \ todos \ os \ tr\^es \ elementos \ escolhidos \ no \ p\'odio.$

$\underbrace{C_{(6,1)}}_{escolha \ dos \ n\~ao \ BR} \ \underbrace{\cdot}_{e} \ \underbrace{P_{(3)}}_{Permuta\c{c}\~oes \ no \ p\'odio} \ = \\ \\ \\ \dfrac{6!}{5! \ \cdot \ 1!} \ \cdot \ 3! \ = \\ \\ \\ \dfrac{6 \ \cdot \ \not{5!}}{\not{5!} \ \cdot \ 1!} \ \cdot \ 3 \ \cdot \ 2 \ \cdot \ 1 \ = \\ \\ \\ \boxed{36 \ possibilidades \ j\'a \ incluindo \ os \ dois \ brasileiros \ no \ p\'odio!}$

$Considerando \ essas \ \bold{possibilidades \ independentes} \ \Rrightarrow \\ \\ n \ = \ 180 \ \underbrace{+}_{ou} \ 36 \ = \\ \\ n \ = \ 5 \ \cdot \ 36 \ + \ 36 \ \rightarrow \\ \\ n \ = \ 6 \ \cdot \ 36 \ \rightarrow \\ \\ \boxed{n \ = \ 6 \ \cdot \ 6 \ \cdot \ 6 \ \ possibilidades \ favor\'aveis!}$

$p \ = \ \dfrac{n}{T} \ \longrightarrow \\ \\ \\ p \ = \ \frac{6 \ \cdot \ 6 \ \cdot \ \not{6}}{8 \ \cdot \ 7 \ \cdot \ \not{6}} \ \rightarrow \\ \\ \\ \boxed{\boxed{p \ = \ \frac{9}{14} \ \approx \ 62,3\% \ de \ termos \ \bold{pelo \ menos} \ 1 \ BR \ no \ p\'odio!}}$