Question

Para determinarmos o número d de diagonais de um polígono convexo de n lados, podemos utilizar a função quadrática d(n)= n² - 3n/2

a) Quantas diagonais tem um pentágono conve xo? E um poligono convexo de 20 lados?

b) lados possui o poligono convexo que tem 54 diagonais? E o que tem 119 diagonais?

c) Existe algum polígono convexo que possua 13 diagonais? Justifique.​

Answer 1

Resposta:

a)

5 diagonais no pentágono  

35 diagonais no polígono de 20 lados

b)

com 54 diagonais polígono de 12 lados

com 119 diagonais polígono de 17 lados

c) Por isso não há polígono convexo com 13 diagonais

Explicação passo a passo:

Observação 1 → Cálculo nº diagonais polígonos convexos

A Fórmula é:

$\dfrac{n^2-3n}{2}$   onde n = número de lados do polígono convexo.

Para calcular o número de diagonais substitui-se "n" pelo número de lados do polígono convexo.

a)

Pentágono = 5 lados

$pentagono=\dfrac{5^2-3*5}{2}=\dfrac{25-15}{2} =5$

 

$poligono(10lados)=\dfrac{10^2-3*10}{2}=\dfrac{100-30}{2} =\dfrac{70}{2} =35$  

b)

Com 54 diagonais

Sabendo o número das diagonais, igual a fórmula a esse número, obtemos

o número de lados

$\dfrac{n^2-3n}{2}=54$  

$\dfrac{n^2-3n}{2}=\dfrac{54}{1}$

produto cruzado

n² - 3n  = 2 * 54  

n² - 3n  = 108

n² - 3n - 108 = 0

Fórmula de Bhascara

x = ( - b ± √Δ ) /2a      com Δ = b² - 4 *a *c       a ≠ 0

n² - 3n - 108 = 0

a =   1

b = - 3

c = - 108

Δ = ( -3 )² - 4 * 1 * ( - 108 ) = 9 + 432 = 441

√Δ = √441 = 21

x1 = ( - ( -3 ) + 21 / (2 * 1 )

x1 = ( 3 + 21 ) / 2

x1 = 24/2

x1 = 12

x2 =  ( - ( -3 ) - 21 ) / 2

x2 =  ( 3 - 21 ) / 2

x2 = - 18/2

x2 = - 9    

rejeitar esta solução pois o nº de lados de um polígono não é negativo

Com 119 diagonais

$\dfrac{n^2-3n}{2}=119$  

$\dfrac{n^2-3n}{2}=\dfrac{119}{1}$

produto cruzado  

n² - 3n = 238  

n² - 3n - 238  = 0

a = 1

b = - 3

c = - 238

Δ = ( - 3 )² - 4 * 1 * ( - 238 ) = 9 + 952 = 961

√Δ = √961 = 31

x1 = ( - ( - 3 ) + 31 ) /(2*1)

x1 = ( 3 + 31 ) /2

x1 = 34 /2

x1 = 17

x2 = ( 3 - 31 )/2

x2 = - 28/2

x2 = - 14

rejeitar esta solução pois o nº de lados de um polígono não é negativo

c)

$\dfrac{n^2-3n}{2}=13$  

$\dfrac{n^2-3n}{2}=\dfrac{13}{1}$

produto cruzado

n² - 3n = 26

n² - 3n - 26 = 0

a = 1

b = - 3

c = - 26

Δ = ( - 3 )² - 4 * 1 * ( - 26 ) = 9 + 104 = 113

√Δ = √113 = 10,63

Sendo  Δ um número não inteiro as raízes virão em valores não inteiros.

Não há polígono com número de lados decimais, têm que ser positivos

e inteiros.

Por isso não há polígono convexo com 13 diagonais

Bons estudos.

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( * ) multiplicação      ( / ) divisão