Question

Para determinar a soma dos ângulos internos de um polígono convexo, basta multiplicar a quantidade de lados do polígono diminuída de duas unidades por 180º. Observando o polígono abaixo, pode-se afirmar corretamente que:

a) x = y > z.

b) x< y < z.

c) x> y > z.

d) y< x < z.

e) y > x > z.

Answer 1

O problema nos fornece a fórmula para calculo da soma nos angulos internos, portanto: 
(5-2)*180 = Si
Si = 3*180
Si = 540
Para saber o valor de X, basta fazer a soma de todos os angulos descritos na imagem e igualar à 540 (soma de todos eles). Temos, então: 
X + X + X + (X+40) + (X+40) = 540
3X + 2X + 80 = 540
5X = 540 - 80
X = 460 / 5
X = 92
Portanto, X vale 92. 
Os ângulos externos Z e Y são suplementares aos seus respectivos ângulos internos. Portanto, para saber seus valores, basta fazer a soma de X + Y ou Z, e igualar a 180. Portanto, temos: 
Y + 92 = 180
Y = 180 - 92
Y = 88
E para Z temos: 
Z + (92+40) = 180
Z + 132 = 180
Z = 180 - 132
Z = 48
Por fim, temos que: 
X = 92
Y = 88
Z = 48
Ou seja: 
X > Y > Z
A resposta certa é a C)

Answer 2

O polígono tem 5 lados.

A soma dos ângulos internos de um polígono convexo é dada por:

$S_i = 180^{o} \cdot (n -2)$

Ou seja:

$S_i = 180^{o} \cdot (5 - 2) = 180^{o} \cdot = 180^{o}\cdot 3 = 540^{o}$

Se somarmos todos os ângulos internos teremos 540°. Isto é:

$x + x + x + x + 40^{o} + x + 40^{o} = 540^{o} \\ 5x = 540^{o} - 80^{o} \\ 5x = 460^{o} \\ x = \frac{460^{o}}{5} = 92^{o}$

Se você perceber a soma entre x + 40° e z deve ser igual a 180°. Ou seja:

$x + 40^{o} + z = 180^{o} \\ 92^{o} + 40^{o} + z = 180^{o} \\ z = 180^{o} - 92^{o} - 40^{o} = 48^{o}$

A soma entre os ângulos x e y também deve ser igual a 180°, assim:

$x + y = 180^{o} \\ 92^{o} + y = 180^{o} \\ y = 180^{o} - 92^{o} = 88^{o}$

Como x = 92°, y = 88° e z = 48°:

$x > y > z$

A alternativa correta é a letra C