Question

para determinar a região formada entre dois vetores, bem como o angulo entre eles são necessários os conceitos de produto escalar e produto vetorial. sendo dois vetores u=(-1, 1,0) e v= (2, -3, 0)

Answer 1

Completando a questão:

Afirma-se que:

I) O produto interno entre eles é um vetor de módulo 5.

II) O ângulo entre os vetores é pouco maior que 168º.

III) O produto interno entre o dobro de cada um dos vetores indicados é um escalar de módulo 20.

IV) O produto vetorial entre eles é um vetor de módulo 1.

Das afirmações acima, estão corretas:

Solução

Vamos analisar cada afirmativa.

Sendo u = (-1,1,0) e v = (2,-3,0), então:

I) Calculando o produto interno:

<u,v> = <(-1,1,0),(2,-3,0)> = (-1).2 + 1.(-3) + 0.0 = -2 - 3 = -5.

Podemos perceber que o resultado é um escalar e não um vetor.

Portanto, a afirmativa está errada.

II) Sabendo que o ângulo entre vetores pode ser calculado por:

<u,v> = ||u|| ||v|| cos(u,v)

então:

||u|| = √2 e ||v|| = √13

Logo,

-5 = √2.√13.cos(u,v)

$cos(u,v) = -\frac{5}{\sqrt{26}}$

cos(u,v) ≈ 168,7°

Portanto, a afirmativa está correta.

III) Multiplicando u e v por 2:

2u = (-2,2,0) e 2v = (4,-6,0).

Então, o produto interno é igual a:

<2u,2v> = <(-2,2,0),(4,-6,0)> = (-2).4 + 2.(-6) + 0.0 = -8 - 12 = -20

Assim, ||-20|| = 20.

Portanto, a afirmativa está correta.

IV) Calculando o produto vetorial:

| i j k|

|-1 1 0|

|2 -3 0|

uxv = i(1.0 - (3).0) - j((-1).0 - 2.0) + k((-1).(-3) - 2.1)

uxv = 0i - 0j + 1k

uxv = (0,0,1)

Calculando o módulo do produto vetorial: ||uxv|| = 1.

Portanto, a afirmativa está correta.