Question

Para determinar a equação de uma tangente a uma função, basta derivar a função e em seguida aplicá-la no ponto indicado. Dessa forma, qual é a equação da reta tangente à curva y = 2θ ∙sen θ no ponto (π/2,π)?

Answer 1

Resposta:

y-2θ = 0, letra b

Explicação passo-a-passo:

y = 2θ∙senθ ---> derivada do produto

y' = 2senθ + 2θcosθ

m = coeficiente angular da reta pedida.

m = 2senπ/2+ 2θcosπ/2

m = 2.1 + 2θ.0

m = 2 + 0

m = 2

y - yo = m(θ-θo)

y - π = 2(θ-π/2)

y - π = 2θ-π

y = 2θ-π+π

y = 2θ

y - 2θ = 0

desculpa, a variável é θ e não x.

Answer 2

A equação da reta tangente da curva $y=2\theta \cdot sen\theta$ no ponto (π/2,π) é igual a $y=2\theta$, ou seja, a alternativa correta é a letra B.

Regras de derivação

Abaixo podemos observar as regras de derivação que iremos utilizar para solucionar a atividade:

Derivada de uma multiplicação

$\dfrac{d}{dx}=u \cdot \dfrac{d}{dx}v+\dfrac{d}{dx}u \cdot v$

Derivada do seno

$\dfrac{d}{dx}senx=cosx$

Derivada de uma variável

$\dfrac{d}{dx}mx^{n}=m \cdot n \ x^{n-1}$

Derivando a função

Para realizar a derivação da função em relação a $\theta$, primeiramente, iremos aplicar a regra da derivada da multiplicação:

$\dfrac{dy}{d\theta}=2\theta \cdot \dfrac{d}{d\theta}sen\theta+\dfrac{d}{d\theta}2\theta \cdot sen\theta$

Agora devemos aplicar a regra da derivada do seno e de uma variável, temos:

$\dfrac{dy}{d\theta}=2\theta \cdot cos\theta+2 \cdot sen\theta$

Coeficiente angular da curva no ponto

Para calcular o valor do coeficiente angular da curva no ponto solicitado, basta substituir o valor do ponto na equação da reta tangente/derivada de primeira ordem:

Calculando:  $\theta=\dfrac{\pi}{2}$

$m=2\cdot\dfrac{\pi}{2} \cdot cos\dfrac{\pi}{2}+2 \cdot sen\dfrac{\pi}{2}\\\\\\\ m=\pi \cdot 0+2 \cdot 1\\\\\\\ m=2$

Equação da reta tangente

Com os valores das coordenadas $\theta$ e y da curva conseguimos calcular a equação da reta tangente a curva.

$y-y0=m(x-x0)$

Substituindo o valor de $m=2,x0=\dfrac{\pi}{2},y0=\pi$

$y-\pi=2(\theta-\dfrac{\pi}{2})\\\\\\y-\pi=2\theta-\pi\\\\\\y=2\theta$

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