Question

Para construir um cone circular reto remove-se um setor de uma folha circular de cartolina de raio 10π cm e unem-se as duas margens retilíneas do corte, conforme a figura ao lado, em que a indica o ângulo do setor circular restante em radianos. O objetivo desse exercício é determinar os ângulos a que fornecem os cones de maior volume. Uma vez montado o cone, denote sua altura por h e seu raio da base por r, de modo que seu volume é dado por (1/3)πr^2 h.

a) Lembrando que o perímetro do setor circular ao lado é igual a 10πa, obtenha a expressão de r em função do ângulo a.

b) Determine o volume do cone obtido em função do ângulo a.

c) Determine o ângulo ao para o qual o volume do cone obtido seja o maior possível.​

Answer 1

Olá, boa noite.

Seja um setor circular removido de uma folha circular de cartolina, cuja medida do raio é $R=10\pi~cm$. Ao retirarmos este setor, temos a figura em anexo. O ângulo do setor circular restante é igual a $\alpha$, medido em radianos.

Unindo as duas margens retilíneas do setor restante, formamos um cone circular reto, de raio $r$ e altura $h$ como sugerido pela imagem em anexo.

Com isso, deseja-se encontrar:

a) A expressão do raio $r$ da base em função do ângulo $\alpha$.

De acordo com o próprio enunciado da questão, sabemos que o perímetro do setor circular é igual a $10\pi\alpha$.

Percebe-se que o perímetro deste setor terá a mesma medida do comprimento da circunferência da base. Sabendo que $C=2\pi\cdot r$, teremos:

$2\pi\cdot r=10\pi\alpha$

Divida ambos os lados da igualdade por um fator $2\pi$

$\dfrac{2\pi\cdot r}{2\pi}=\dfrac{10\pi\alpha}{2\pi}\\\\\\ r=5\alpha$

b) Determine o volume do cone em função do ângulo $\alpha$

Sabendo que a fórmula para o volume $V$ de um cone cujo raio da base é igual a $r$ e tem altura $h$ é dado por: $V=\dfrac{\pi\cdot r^2\cdot h}{3}$, devemos ainda determinar a altura $h$ em função do ângulo $\alpha$.

Observe que ao unirmos as duas margens retilíneas, teremos a geratriz do cone. Além disso, forma-se um triângulo retângulo, cuja hipotenusa é igual a geratriz e seus dois catetos são o raio $r$ e a altura $h$.

Utilizando o Teorema de Pitágoras, temos:

$g^2=h^2+r^2$

Substituindo $g=R=10\pi$ e $r=5\alpha$, teremos:

$(10\pi)^2=h^2+(5\alpha)^2$

Calcule as potências

$100\pi^2=h^2+25\alpha^2$

Isole $h^2$

$h^2=100\pi^2-25\alpha^2$

Fatore a expressão

$h^2=25\cdot(4\pi^2-\alpha^2)$

Calcule a raiz quadrada em ambos os lados da igualdade, assumindo a solução positiva

$h=\sqrt{25\cdot(4\pi^2-\alpha^2)}$

$h=5\cdot\sqrt{4\pi^2-\alpha^2}$

Então, substitua este resultado na fórmula do volume:

$V(\alpha)=\dfrac{\pi\cdot (5\alpha)^2\cdot 5\cdot\sqrt{4\pi^2-\alpha^2}}{3}$

Calcule a potência e multiplique os termos

$V(\alpha)=\dfrac{125\pi\cdot\alpha^2\cdot \sqrt{4\pi^2-\alpha^2}}{3}$

c) Determine o ângulo $\alpha$ para o qual o volume do cone obtido seja o maior possível.

Para isso, devemos determinar os pontos críticos da função volume:

Derivamos a função:

$\dfrac{d}{d\alpha}(V(\alpha))=\dfrac{d}{d\alpha}\left(\dfrac{125\pi\cdot \alpha^2\cdot\sqrt{4\pi^2-\alpha^2}}{3}\right)$

Veja as regras de derivação na segunda imagem em anexo.

Aplique a regra da constante

$V'(\alpha)=\dfrac{125\pi}{3}\cdot(\alpha^2\cdot \sqrt{4\pi^2-\alpha^2})'$

Aplique a regra do produto

$V'(\alpha)=\dfrac{125\pi}{3}\cdot((\alpha^2)'\cdot \sqrt{4\pi^2-\alpha^2})'+\alpha^2\cdot(\sqrt{4\pi^2-\alpha^2})')$

Aplique a regra da potência e da cadeia, lembrando que $\sqrt{x}=x^{{\frac{1}{2}}$

$V'(\alpha)=\dfrac{125\pi}{3}\cdot\left(2\alpha\cdot \sqrt{4\pi^2-\alpha^2}+\alpha^2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot (4\pi^2-\alpha^2)'\cdot (4\pi^2-\alpha^2)^{-\frac{1}{2}}\right)$

Aplique a regra da soma

$V'(\alpha)=\dfrac{125\pi}{3}\cdot\left(2\cdot\alpha\cdot \sqrt{4\pi^2-\alpha^2}+\alpha^2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot ((4\pi^2)'-(\alpha^2)')\cdot (4\pi^2-\alpha^2)^{-\frac{1}{2}}\right)$

Aplique a regra da constante e da potência. Calcule a potência de expoente negativo utilizando a propriedade: $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n},~a\neq0$.

$V'(\alpha)=\dfrac{125\pi}{3}\cdot\left(2\alpha\cdot \sqrt{4\pi^2-\alpha^2}+\alpha^2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot (-2\alpha)\cdot \dfrac{1}{(4\pi^2-\alpha^2)^{\frac{1}{2}}}\right)$

Reescreva a potência de expoente fracionário como radical e multiplique os termos

$V'(\alpha)=\dfrac{125\pi}{3}\cdot\left(2\alpha\cdot \sqrt{4\pi^2-\alpha^2}-\dfrac{\alpha^3}{\sqrt{4\pi^2-\alpha^2}}\right)$

Some as frações

$V'(\alpha)=\dfrac{125\pi}{3}\cdot\dfrac{2\alpha\cdot(4\pi^2-\alpha^2)-\alpha^3}{\sqrt{4\pi^2-\alpha^2}}$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e some os termos semelhantes

$V'(\alpha)=\dfrac{125\pi}{3}\cdot\dfrac{8\pi^2\alpha-3\alpha^3}{\sqrt{4\pi^2-\alpha^2}}$

Então, iguale esta derivada a zero:

$V'(\alpha)=0\\\\\\ \dfrac{125\pi}{3}\cdot\dfrac{8\pi^2\alpha-3\alpha^3}{\sqrt{4\pi^2-\alpha^2}}=0$

Resolva a equação para $\alpha$

$\alpha=\sqrt{\dfrac{8\pi^2}{3}}$

Calcule o radical

$\alpha=2\pi\cdot\sqrt{\dfrac{2}{3}}$

Estas são as respostas das questões.