Question

para completar o quadrado e resolver a equação x2 - 6x + 5=0, notamos que o primeiro termo do quadrado é x. Com devemos manipular o 6x para obter o segundo termo?

Answer 1

Definição: Um trinômio é uma expressão algébrica formada pela adição algébrica de três monômios. Um trinômio na forma $\mathsf{a^2 + 2ab + b^2}$ é chamado de trinômio quadrado perfeito, pois ele pode ser escrito assim:

$\mathsf{a^2 + 2ab + b^2= (a+b)^2}$

Se quisermos resolver a equação $\mathsf{x^2 -6x + 5 =0}$ por completamento de quadrado, devemos prosseguir da seguinte maneira:

De início, note que:

$\mathsf{x^2 -6x + 5 =0} \\</p><p>\mathsf{x^2 - 2 \cdot 3x = -5}$

Para que tenhamos um quadrado perfeito

no lado esquerdo da equação precisamos somar o quadrado da metade do coeficiente b em ambos os membros, isto é, somar $\displaystyle \left(\dfrac{-6}{2}\right)^2 = 9$ aos dois lados da equação. Assim, manipulamos o 6x assim:

Temos: $\mathsf{6x = 2 \cdot x \cdot 3}$

Percebemos então que o segundo termo é 3 e que para completar o quadrado falta o termo $3^2.$

Daí,

$x^2 - 2 \cdot 3x + {\color{Red}9} = -5 + {\color{Red}9}\\ </p><p>(x-3)^2 = 4 \\</p><p>x- 3 = \pm \sqrt{4} \\</p><p>x-3 = \pm 2 \\</p><p>x-3= 2 \text{ ou } x -3=-2 \\</p><p>x = 2 + 3 = 5 \text{ ou } x = -2 + 3 = 1$

Logo, o conjunto solução da equação é:

$S = \{1, 5\}$