Question

Para comemorar o aniversário de independência, o Governo da Guiana comprou um lote de bandeiras para distribuir com a população. A Figura 1 representa a bandeira e a Figura 2 , as características geométricas desta.
Sabendo que BE=EC e que F é o ponto de interseção das diagonais do retângulo ABCD, justifique por que a quantidade de tecido utilizada na confecção da bandeira correspondente ao triângulo ADF é a mesma que a utilizada para o quadrilátero AFDE.

Answer 1

Vamos analisar a área de cada triângulo para poder provar que tanto o tecido vermelho quanto a amarelo serão usados na mesma quantidade.

O exercício informa que F é o ponto em que as diagonais se cruzam.

Vamos encarar, a início, o tecido amarelo como um triângulo e imaginar que não há o tecido vermelho.
Para determinarmos a área de tecido utilizada vamos calcular a área do triângulo, base*altura/2. Vamos também colocar a bandeira em pé, pra visualizar mais fácil.
A base seria AD, e a altura do triângulo seria AB, portanto:
A = AD*AB/2

Vamos agora analisar o tecido vermelho. A distância de E até F é a metade da distância de A até B, portanto o tecido vermelho terá a metade da altura do amarelo. A base de ambos é a mesma.
V = AD*AB/2 /2
V = AD*AB/4

Observamos que o triângulo vermelho, ocupa metade da área do triângulo amarelo. Se tirarmos a metade da área do amarelo teremos a área do vermelho.
A-V = AD*AB/2 - AD*AB/4 [MMC]
2*AD*AB/4 - AD*AB/4
A-V = AD*AB/4

Portanto a área do quadrilátero, ADEF, é a mesma do triângulo ADF.