Question

Para calcular quantos números existem com 4 algarismos escolhidos entre 1 e 9 e que contêm o algarismo 8, uma aluna respondeu da maneira seguinte:
Começando pelo algarismo 8, podemos escolher 4 posições possíveis. Escolhida uma posição para o algarismo 8, qualquer uma das restantes posições pode ser ocupada por qualquer dígito entre 1 e 9 (uma vez que não está excluída a possibilidade do algarismo 8 poder voltar a apare- cer). Ou seja, existem 9 × 9 × 9 = 729 possibilidades para preencher as restantes 3 posições. Desta forma, conclui-se que existem 4 × 729 números com 4 algarismos pertencentes a {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e que contêm os algarismo 8.
Analise esta resposta e, caso necessário, corrija-a.

Answer 1

Veja a disposição dos algarismos, e note que há um erro na resposta da aluna.

Quando o primeiro dígito for o algarismo 8.

1 . 9 . 9 . 9 = 728 (correto)

Agora quando o 8 ocupa qualquer um dos dígitos restantes há um detalhe que a aluna não percebe, nesse caso vamos usar o segundo dígito.

9 . 1 . 9 . 9 = 729 (errado)

Dessa forma há repetições, pois o 8 já foi usado na segunda posição, afinal no primeiro exemplo há 9 possibilidades, incluindo o 8.

E isso acontece nas demais posições em que vc define o dígito do algarismo 8.

Então o certo é pensar assim:

${9}^{3} + 3( {8}^{3} ) = 2265$