Question

Para calcular o quociente entre radicais, é necessário que eles tenham o mesmo índice. Assim como na operação de multiplicação, os radicais como índices diferentes devem ser reduzidos ao mesmo índice para se fazer a divisão. Generalizando, podemos compreender a divisão de radicais de índices iguais da seguinte maneira:

N^√A/N^√B = N^√A/B

, com a ≥ 0, b > 0, n E N e n>1.

Matemática. 9° ano. Livro 1: professor. Ensino Fundamental. 1. ed. - Curitiba: SAE Digital S/A, 2020, p. 24.

De acordo com o trecho acima, qual é o valor da expressão para a = √3, b = ³√5 e n = 2?

A) ¹²√3/5
B) ¹²√27/25
C) ⁸√27/25
D) ⁶√3/5​​
E) ⁴√3/5​

Answer 1

Aplicando as regras de radicais, o resultado é  B)   $\sqrt[12]{\dfrac{27}{25} }$

Sendo

$a=\sqrt{3}$

$b=\sqrt[3]{5}$

Determinar

$\sqrt[2]{\dfrac{\sqrt[2]{3} }{\sqrt[3]{5} } }$

1º Etapa →  Fazer o cálculo do quociente  dos  radicais

$\sqrt{3} :\sqrt[3]{5} =\sqrt[2]{3^1} :\sqrt[3]{5^1}$  ( A )

Como para dividir radicais eles necessitam ter o mesmo índice,

calcular o m.m.c. ( 2 ; 3 )

2   3   |  2

1   3   |  3

1    1   terminou a decomposição em fatores primo

m.m.c. ( 2 ; 3 ) = 2 * 3 = 6

Para que o índice 2 chegue a 6 , multiplica-se por 3

Para que o  índice 2 chegue a 6 , multiplica-se por 2

Mas temos que também multiplicar os expoentes do radicando.

( A ) continuação

$=\sqrt[2-3]{3^{1*3} } :\sqrt[3*2]{5^{1*2} }$

$=\sqrt[6]{3^3 } :\sqrt[6]{5^2 }$

Transforma num único radical , mantendo o índice e dividindo os radicais

$=\sqrt[6]{\dfrac{3^3}{5^2} }$

$=\sqrt[6]{\dfrac{3*3*3}{5*5} }=\sqrt[6]{\dfrac{27}{25} }$  

2º Etapa →   Extrair a raiz quadrada do valor obtido

$\sqrt[2]{\sqrt[6]{\dfrac{27}{25} } }$

Quando temos um radical dentro de outro radical, temos que multiplicar

os índices, mantendo o radicando $\dfrac{27}{25}$ .

$\sqrt[2]{\sqrt[6]{\dfrac{27}{25} } } = \sqrt[2*6]{\dfrac{27}{25} } =\sqrt[12]{\dfrac{27}{25} }$

Logo B )

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Observação 1 → Radicais com índices "escondidos"

Quando num radical, o índice não aparece escrito é indicação de que

se trata do índice 2.

Os matemáticos, para simplificar a escrita simbólica, concordaram em

fazer assim.

Mas quando precisamos de fazer operações com ele, temos que saber

que ele lá está.

Exemplo

$\sqrt{3} =\sqrt[2]{3}$

Observação 2  → Elementos de um radical

Exemplo

  $\sqrt[3]{7^2}$

→ índice  é 3

→ radicando é  7²

→ expoente do radicando é 2

→ símbolo de radical é √

Observação  → Expoentes "escondidos"

Quando temos uma potência sem mostrar nenhum expoente, com

base diferente de zero, esse expoente é 1.

Os matemáticos para simplificar a escrita simbólica na Matemática,

indicam que expoente 1 não precisa de ser escrito.

Mas está lá para quando for necessário o usar.

Exemplo

$3=3^1$

Bons estudos.

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( : )   divisão    ( * ) multiplicação

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.