Question

Para calcular a altura em relação ao solo do andar do prédio em que mora, uma pessoa com 1,80 m de altura se posiciona em pé a 1,5 m da janela do seu apartamento, enxergando apenas o limite da base de outro prédio logo em frente, que se encontra a 12 m da base do seu prédio. Da borda inferior da janela até o chão, o comprimento é de 0,8 m.

A altura do andar do prédio em que a pessoa mora é, em metros, igual a:

a) 16,2.
b) 14,4.
c) 7,2.
d) 6,4.
e) 3,0.

Answer 1

Pela semelhança de triângulos, temos:

Δ₁ formado pela altura da pessoa, menos o comprimento da borda da janela até o chão,  a distância até a janela e a reta formada pela visão da pessoa até o ponto limite da base do outro prédio.

Δ₂ formado pela altura do chão (base) até a borda da janela, a distância entre um prédio e outro e a continuidade da visão da pessoa até a base do outro prédio.

Precisamos descobrir a medida da altura do andar, ou seja, a altura do triângulo maior.

Altura do andar do prédio:

$\frac{1}{x} = \frac{1,5}{12}\\\\ x = \frac{12}{1,5} \Rightarrow x = 8$

Como a alturado triângulo maior vai da base até a borda da janela, temos que

x = altura do andar
x = 8 - 0,8
x = 7,2

A altura do andar é 7.2 m, item (c).


Prova:

Para verificar, precisamos calcular a medida das hipotenusas e descobrir o valor dos ângulos. Se os ângulos forem iguais, fica provada a veracidade.

Δ₁ 
x² = (1,5)² + (1,0)² ⇒ x = √3,25


Δ₂
x² = 12² + 8² ⇒ x = √208

É importante não simplificarmos o valor das raízes, senão dá diferença no resultado final.

Sejam θ o ângulo do Δ₁ e β o ângulo do Δ₂.

$sen(\theta) = \frac{1}{ \sqrt{2,25} } = arcsen(0.554700196) = 33.69 \\\\ sen(\beta ) = \frac{8}{ \sqrt{208} } = arcsen(0.554700196) = 33.69$

Portanto, os triângulos, de fato, são semelhantes. Confirmada a resposta.