Question

Para cada uma das transformações lineares F , encontre uma base
(a) sua imagem U
(b) seu núcleo W :

(I) F:R³->R³ definida por F(x,y,z)=(x+2y,y-z,x+2y)

(II) F:R³->R² definida por F(x,y)=(x+y,x+y)​

Answer 1

Resposta:

Explicação passo a passo:

I) F(x,y,z)=(x+2y,y-z,x+2y)

F(x,y,z)=(x+0x +x, 2y+y+2y, 0z-z+0z)

F(x,y,z)=(x,0,x) + (2y,y,2y) +(0z,-z,0z)

F(x,y,z)=x(1,0,1) + y(2,1,2) +z(0,-1,0)

|1  0  1|

|2  1  2| ~

|0 -1  0|, escalonando fica:

|1   0  1|

|0 1  0|  ~

|0 -1  0|

|1   0  1|

|0  1  0|  ~

|0 0  0|

Logo podemos concluir que uma base para a imagem dessa transfromação é {(1, 0, 1), (0, 1, 0)}.

b)

Calculando o núcleo fica:

{x+2y = 0

{y-z = 0

{x+2y = 0, duas equações são iguais, eliminenos uma.

{x+2y = 0

y - z = 0. Logo y = z

x+2z = 0 e x = -2z

Então o núcleo são vetores da forma (-2z, z, z).