Question

Para cada uma das parábolas x² = 8y e x = - 1/2 y² , construir o gráfico e encontrar o foco e uma equação da geratriz.

Answer 1

Olá!

Resolve-se este exercício usando definição geral de parábola, veja a figura dos graficos:

Primeira parábola

A primeira parábola se trata de uma parábola simétrica a y, o ponto do foco é Ponto(p/2, 0) onde p é a distância entre o foco e a diretriz. A diretriz é uma reta paralela a x igual a y = p/2. Em uma parábola com a equação reduzida, como no seu exercício, a parábola é formulada baseado na seguinte formula:

 $x^{2} = 2py$

Comparando com a do exercício, tem-se:

 $x^{2} = 2py$

 $x^{2} = 8y$

Então: 2p = 8, portanto p = 4

Substituindo o valor de p no ponto de foco PF(p/2, 0), o ponto de foco será PF(2, 0).

Substituindo o valor de p na equação da diretriz y  = p/2, a reta será y = 2. 

Segunda parábola

A segunda parábola se trata de uma parábola simétrica a y, o ponto do foco é Ponto(p/2, 0) onde p é a distância entre o foco e a diretriz. A diretriz é uma reta paralela a x igual a x = -p/2. Em uma parábola com a equação reduzida, como no seu exercício, a parábola é formulada baseado na seguinte formula:

$y^{2} = 2px$

 

Comparando com a do exercício, tem-se:

$y^{2} = 2px$

 $y^{2} = -2x$

 Então: 2p = -2, portanto p = -1

Substituindo o valor de p no ponto de foco PF(p/2, 0), o ponto de foco será PF(-1/2, 0).

Substituindo o valor de p na equação da diretriz x  = -p/2, a reta será y = 1/2. 

 Espero ter ajudado!!