Question

Para cada uma das funções abaixo, determine os pontos críticos, classifique-os como máximos ou mínimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde f é crescente e decrescente.

a) f(x) = x + 3/x^2​

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre pontos críticos e classificação de máximos e mínimos.

Seja a função $f(x)=x+\dfrac{3}{x^2}$. Devemos determinar seus pontos críticos, classificá-los como máximos ou mínimos locais e, se possível, determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função.

Primeiro, lembre-se que os pontos críticos de uma função são aqueles cuja inclinação da reta tangente à curva de seu gráfico nestes pontos é nula, isto é, sua derivada é igual a zero.

Então, calcule a derivada da função:

$(f(x))'=\left(x+\dfrac{3}{x^2}\right)'$

Para calcular esta derivada, lembre-se que:

• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada de uma função racional é calculada pela regra do quociente: $\left(\dfrac{g(x)}{h(x)}\right)'=\dfrac{g'(x)\cdot h(x)-g(x)\cdot h'(x)}{(h(x))^2}$, para $g(x),~h(x)$ contínuas e deriváveis e $h(x)\neq0$.
• A derivada de uma constante é igual a zero.

Aplique a regra da soma

$f'(x)=(x)'+\left(\dfrac{3}{x^2}\right)'$

Aplique as regras da potência e do quociente

$f'(x)=1\cdot x^{1-1}+\dfrac{(3)'\cdot x^2-3\cdot (x^2)'}{(x^2)^2}$

Aplique novamente a regra da potência e calcule-as

$f'(x)=1\cdot x^0+\dfrac{0\cdot x^2-3\cdot 2\cdot x^{2-1}}{x^4}\\\\\\ f'(x)=1-\dfrac{6x}{x^4}$

Simplifique a fração por um fator $x$

$f'(x)=1-\dfrac{6}{x^3}$

Igualando esta derivada a zero, calculamos os pontos críticos da função:

$f'(x)=0\\\\\\ 1-\dfrac{6}{x^3}=0$

Multiplique ambos os lados da igualdade por um fator $x^3, ~x\neq0$

$x^3-6=0$

Some $6$ em ambos os lados da equação

$x^3=6$

Calcule a raiz cúbica em ambos os lados da igualdade

$x=\sqrt[3]{6}$.

Este é o único ponto crítico da função.

Então, devemos classificá-lo como máximo ou mínimo local. Para isso, utilizamos o teste da segunda derivada:

Seja $a$ um ponto crítico da função $g(x)$, isto é, $g'(a)=0$. Sendo a função $g(x)$ duas vezes derivável, o valor de sua derivada segunda neste ponto nos informa:

• Se $g''(a)>0,~(a,~g(a))$ é um ponto de mínimo local.
• Se $g''(a)<0,~(a,~g(a))$ é um ponto de máximo local.
• Se $g''(a)=0$, nada se pode afirmar.

Assim, calculamos a derivada segunda da função, lembrando que $f''(x)=(f'(x))'$:

$f''(x)=\left(1-\dfrac{6}{x^3}\right)'$

Aplique a regra da soma

$f''(x)=(1)'-\left(\dfrac{6}{x^3}\right)'$

Aplique as regras da constante e do quociente

$f''(x)=0-\dfrac{(6)'\cdot x^3-6\cdot (x^3)'}{(x^3)^2}$

Aplique as regras da constante e da potência

$f''(x)=-\dfrac{0\cdot x^3-6\cdot 3\cdot x^{3-1}}{x^6}$

Some os valores no expoente e simplifique os termos

$f''(x)=\dfrac{18x^2}{x^6}$

Simplifique a fração por um fator $x^2,~x\neq0$

$f''(x)=\dfrac{18}{x^4}$

Agora, calcule o valor da função no ponto $x=\sqrt[3]{6}$

$f''(\sqrt[3]{6})=\dfrac{18}{(\sqrt[3]{6})^4}$

Facilmente pode-se ver que o valor da derivada segunda da função neste ponto crítico é maior que zero. Com isso, conclui-se que o ponto $x=\sqrt[3]{6}$ é um mínimo local de $f$.

Para determinarmos os intervalos de crescimento e decrescimento da função, lembre-se que:

• O intervalo de pontos que antecedem um ponto de mínimo determinam um intervalo de decrescimento.
• O intervalo de pontos que sucedem um ponto de mínimo determinam um intervalo de crescimento.

Visto que a função é descontínua em $x=0$ e levando em conta os resultados anteriores, concluímos:

A função $f(x)$ apresenta um intervalo de crescimento em $]-\infty,~0[$, um intervalo de decrescimento em $]0,~\sqrt[3]{6}[$ e intervalo de crescimento em $]\sqrt[3]{6},~\infty[$.

Observe a imagem em anexo: a curva do gráfico da função $f(x)$ está colorido em azul e a assíntota vertical $x=0$ está pontilhada em vermelho.