Question

Para cada regra da diferenciação temos uma regra correspondente de integração. Por exemplo, a regra da sobustituição corresponde a regra da cadeia. a regra que corresponde a regra do produto para a diferenciação é chamada de integração por partes e pode ser obtida por:
Integral u.dv = uv - Integral vdu
Calcule a seguinte integral, utilizando a técnica da integração por partes e logo em seguida assinale a alternativa correta:
Integral sex sec² x dx
A) senx tgx + cos x +C
B) Secx + tgx + cosx + C
C) Sec x senx dx + C
D) Tgx + secx + cos x
E) Tgx + senx + tgx

Answer 1

Sendo $\int {sen(x)sec^2(x)} \, dx$ temos que decidir quem será u e quem será dv.

A escolha mais simples é escolher u = sen(x).

Logo, du = cos(x)dx.

Sendo assim, dv = sec²(x) dx e v = tg(x).

Utilizando a fórmula para integração por partes, temos que:

$\int {u} \, dv = uv- \int {v} \, du$
$\int{sen(x)sec^2(x)} \, dx = sen(x)tg(x)- \int\b {tg(x)cos(x)} \, dx$

Lembre-se que:

$tg(x)= \frac{sen(x)}{cos(x)}$

$\int {sen(x)sec^2(x)} \, dx =sen(x)tg(x)- \int {\frac{sen(x)}{cos(x)}cos(x)} \, dx$
$\int {sen(x)sec^2(x)} \, dx = sen(x)tg(x) - \int {sen(x)} \, dx$
$\int {sen(x)sec^2(x)} \, dx = sen(x)tg(x) + cos(x) + c$

Portanto, a alternativa correta é a letra a)