Question

Para cada n natural , seja o número

$k_n} = \sqrt{3. \sqrt{3. \sqrt{3.(...). \sqrt{3} } } } - \sqrt{2. \sqrt{2. \sqrt{2 .(...). \sqrt{ 2 } } } }$

Se n → +∞ , para que valor se aproxima $K_{n}$

Answer 1

=> Ludeen


Quando olhei a expressão fiquei sem saber "exatamente" o que significaria a indicação dada pela expressão:

.....Se n → +∞ , para que valor se aproxima K(n)

pois na diferença de radicais dada (aparentemente) não há "espaço" para o termo "n"..

...a não ser que transformemos os radicais em potencia fracionária..

e esta foi a parte mais difícil do raciocínio ...rsrsr


Veja que se transformarmos a expressão em "potencia" ...resulta:

K(n) = [3^(1/2)] . [3^(1/4)] . [3^(1/8)] . ... .[3^(1/2ⁿ)] - [2^(1/2)] . [2^(1/4)] . [2^(1/8)] . ... .[2^(1/2ⁿ)]

...como as bases são iguais ..então: 

K(n) = (3)^[(1/2)+(1/4)+(1/8)+...+(1/2ⁿ)] - (2)^[(1/2)+(1/4)+(1/8)+...+(1/2ⁿ)] 

agora vamos observar só os expoentes:

(1/2)+(1/4)+(1/8)+.....+(1/2ⁿ)

e ver o que sucede quando: n → +∞ 

..já deve ter percebido que estamos perante uma PG infinita de razão 1/2 (logo |q|< 1) ..em que o 1º termo é "1/2" ..logo a soma dos "n" termos será dada por:

S(n) = (1/2)/[1 - (1/2)]

S(n) = (1/2)/(1/2)

S(n) = 1
 

assim 


K(n) = (3)^[(1/2)+(1/4)+(1/8)+....+(1/2ⁿ)] - (2)^[(1/2)+(1/4)+(1/8)+....+(1/2ⁿ)] 

quando n → +∞ ..poderá ser representado por:

K(n) = 3¹ - 2¹

..ou seja

K(n) = 1



Espero ter ajudado