Question

Para cada função quadrática abaixo, é necessário que determine:
- os coeficientes da função;
- se a concavidade é voltada para cima ou se a concavidade é voltada para baixo;
- os zeros da função, se existirem;
- o estudo do sinal da função.

a) f(x) = -x² + 5x -6

Answer 1

Resposta:

$\sf f(x) = - x^{2} + 5x -6$

$\sf f(x) = ax^{2} +bx + c$

Os coeficientes da função:

a =  -1

b = 5

c = - 6

Se a concavidade é voltada para cima ou se a concavidade é voltada para baixo:

a = - 1 < 0   ← a concavidade é voltada para baixo.

Os zeros da função, se existirem:

Determinar o Δ:

$\sf \Delta = b^2 -\:4ac$

$\sf \Delta = 5^2 -\:4 \cdot (-1) \cdot (- 6)$

$\sf \Delta = 25 - 24$

$\sf \Delta = 1$

$\sf x = \dfrac{-\,b \pm \sqrt{ \Delta } }{2a} = \dfrac{-\,5 \pm \sqrt{ 1 } }{2 \cdot (-1)} = \dfrac{-\,5 \pm 1 }{-\:2} \Rightarrow\begin{cases} \sf x_1 = &\sf \dfrac{-\,5+ 1}{2} = \dfrac{-\; 4}{- 2} = \;2\\\\ \sf x_2 = &\sf \dfrac{-\,5 - 1}{-2} = \dfrac{- 6}{-2} = 3\end{cases}$

$\sf \boldsymbol{ \sf \displaystyle S = \{ x \in \mathbb{R} \mid x = 2 \mbox{\sf \;e } x = 3 \} }$

O estudo do sinal da função:

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

$\sf f(x)=-x^2+5x-6$

• Os coeficientes da função

$\sf f(x)=-x^2+5x-6$

$\sf \Rightarrow~f(x)=ax^2+bx+c$

$\sf \Rightarrow~\red{a=-1},~\red{b=5},~\red{c=-6}$

• Concavidade

A concavidade da parábola de uma função quadrática, $\sf f(x)=ax^2+bx+c$, é voltada:

• Para cima, se $\sf a > 0$

• Para baixo, se $\sf a < 0$

Temos $\sf a=-1$ e então $\sf a < 0$. A concavidade é voltada para baixo.

• Os zeros da função

$\sf -x^2+5x-6=0$

$\sf \Delta=5^2-4\cdot(-1)\cdot(-6)$

$\sf \Delta=25-24$

$\sf \Delta=1$

$\sf x=\dfrac{-5\pm\sqrt{1}}{2\cdot(-1)}=\dfrac{-5\pm1}{-2}$

$\sf x'=\dfrac{-5+1}{-2}~\Rightarrow~x'=\dfrac{-4}{-2}~\Rightarrow~\red{x'=2}$

$\sf x"=\dfrac{-5-1}{-2}~\Rightarrow~x"=\dfrac{-6}{-2}~\Rightarrow~\red{x"=3}$

As raízes dessa função são $\sf 2~e~3$

• Estudo do sinal da função

$\sf f(x) > 0,~se~2 < x < 3$

$\sf f(x) < 0,~se~x < 2~ou~x > 3$

$\sf f(x)=0,~se~x=2~ou~x=3$