Question

Para cada função, determine os pontos de interseção com os eixos coordenados e o vértice para,
em seguida, esboçar o gráfico a partir desses pontos.
a) h(x) = x2 + 6x+8
b) f(x) = 5x2 + 5x
c) g(x)= --X2 + 8x - 12​

Answer 1

Para a), b) e c) respectivamente, teremos: -1/2 ;  -5/4 /  -1/2 ;  -5/4 / 4 ; 4.

Vamos aos dados/resoluções:

Podemos encontrar o ponto em que o gráfico toca o eixo y apenas encontrando o seu termo independente. Os pontos onde ele toca o eixo x são as raízes, que podem ser calculadas com a fórmula de Bhaskara. Para calcular o vértice, podemos usar a fórmula que deixarei abaixo ou então, dependendo dos coeficientes da equação podemos notar algumas características em suas equações;

Para as fórmulas para encontrar o vértice: Xv = -b/2a ; Yv = Δ/4a ;  

Logo, pros exercícios.

a)  x² + 6x + 8

Ponto de intersecção com eixo y: (0,8)

Raízes: x = -2 ou x = -4

Vértice: (-3,-1)

Os cálculos serão:  

Δ = 6² - 4.1.8 ;  

Δ = 4 ;  

√Δ = 2 ;  

X1 = -6 + 2 / 2.1 = -2 ;  

X2 = -6 - 2/ 2.1 = -4 ;  

XV = -6 / 2.1 = -3  

Yv = 4 / 4.1 = -1 ;  

b) 5x² + 5x

Ponto de intersecção com eixo y: (0,0)

Raízes: x = 0 ou x = -1

Vértice: (-1/2,-5/4)

os cálculos serão:  

5x² + 5x = 5x (x + 1) = 0

x = 0 ou x = -1

Xv = -5 / 2.5 = -1/2 ;

Yv = -25 / 4.5 = -5/4 ;  

c) g(x) = -x² + 8x - 12

Ponto de intersecção com eixo y: (0,0)

Raízes: x = 2 ou x = 6

Vértice: (4,4)

Δ = 8² - 4. (-1) . (12)

 

Δ = 16

√Δ = 4 ;  

X1 = -8 + 4 / 2. (-1) = 2 ;  

X2 = -8 -4 / 2. (-1) = 6 ;  

Xv = -8/2 (-1) = 4 ;  

Yv = -16 / 4 (-1) = 4 ;  

espero ter ajudado nos estudos, bom dia :)

Answer 2

As respectivas respostas para os problemas propostos são:

a)

Interseção com o eixo Y ( termo independente) = 8

Interseção com o eixo X ( raízes da função) = -4 e -2

Coordenadas do vértice da função ( Xv; Yv) = (-3;-1)

b)

Interseção com o eixo Y ( termo independente) = 0

Interseção com o eixo X ( raízes da função) = 0 e -1

Coordenadas do vértice da função ( Xv; Yv) = (-1/2;-5/4)

c)

Interseção com o eixo Y ( termo independente) = -12

Interseção com o eixo X ( raízes da função) = 2 e 6

Coordenadas do vértice da função ( Xv; Yv) = (4;4)

Resolução

Para solucionarmos as questões precisamos ter em mente alguns conceitos:

Primeiramente acerca do vértice. O vértice de uma função do segundo grau é o ponto em que a parábola muda de sentido ele será dado pelas expressões:

Xv = -b/2a, coordenada x do vértice.

Yv = -Δ/4a, coordenada y do vértice.

Além disso, precisamos ter um prévio conhecimento acerca do plano cartesiano!! Este plano é formado por duas retas perpendiculares.

Essas retas são os eixos do nosso plano cartesiano. O eixo X é denominado eixo das abscissas enquanto o eixo Y é denominado eixo das ordenadas!

O  ponto de interseção de uma função do segundo grau com o eixo Y é numericamente igual ao termo independente, isto é, aquele que não está acompanhado pela variável x.

Por último, precisamos entender o que são as raízes de uma função!

As raízes são os pontos em que o gráfico da função intersecciona o eixo das abscissas!

Uma vez que conhecidos esses conteúdos podemos resolver cada uma dessas questões pois utilizaremos todos esses conceitos!

1)

Interseção com o eixo Y ( termo independente) = 8

Interseção com o eixo X ( raízes da função) = -4 e -2

Coordenadas do vértice da função ( Xv; Yv) = (-3;-1)

Termo independente:

h(x) = x² + 6x+8

Raízes da função:

Δ =b²-4.a.c

Δ =6²-4.1.8

Δ =36-32

Δ = 4

X = (-b± √ Δ)/2.a

X = (-6 ±2)/2

x' = -4

x'' = -2

Cálculo dos vértices da função:

Xv = -b/2a

Xv = -6/2

Xv = -3

Yv = -Δ/4a

Yv = -4/4

Yv = -1

2)

Interseção com o eixo Y ( termo independente) = 0

Interseção com o eixo X ( raízes da função) = 0 e -1

Coordenadas do vértice da função ( Xv; Yv) = (-1/2;-5/4)

Termo independente:

f(x) = 5x² + 5x+ 0

Raízes da função:

Δ =b²-4.a.c

Δ =5²-4.5.0

Δ =25-0

Δ = 25

X = (-b± √ Δ)/2.a

X = (-5 ±5)/2.5

x' = 0

x'' = -1

Cálculo dos vértices da função:

Xv = -b/2a

Xv = -5/2.5

Xv = -1/2

Yv = -Δ/4a

Yv = -25/4.5

Yv = -5/4

3)

Interseção com o eixo Y ( termo independente) = -12

Interseção com o eixo X ( raízes da função) = 2 e 6

Coordenadas do vértice da função ( Xv; Yv) = (4;4)

Termo independente:

f(x) = -x² + 8x- 12  

Raízes da função:

Δ =b²-4.a.c

Δ =8²-4.-1.-12

Δ =64-48

Δ = 16

X = (-b± √ Δ)/2.a

X = (-8 ±4)/2.-1

x' = 2

x'' = 6

Cálculo dos vértices da função:

Xv = -b/2a

Xv = -8/2.-1

Xv = 4

Yv = -Δ/4a

Yv = -16/4.-1

Yv = 4

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