Question

Para ativar um macaco hidráulico, o operador necessita ativar uma alavanca. A força
que ele faz não é suficiente para parar erguer um trator nesse macaco hidráulico. Porém, o sistema hidráulico
consegue, ou seja, através de um vaso comunicante com pressão interna constante, a força inserida em uma área
pequena é aumentada na saída por se ter uma área maior. Considerando que a força máxima que a alavanca pode
aplicar no pistão menor é de 5 N, determine a massa do maior trator que esse macaco hidráulico consegue erguer.
Dados: diâmetro do pistão que insere a força no sistema é de 0,8 cm; diâmetro do pistão que ergue o trator é de 85
cm.​

Answer 1

O peso máximo capaz desse macaco hidráulico erguer é de, aproximadamente, 5,6 toneladas.

Anexei uma figura no final desta resolução, para facilitar o entendimento.

Olhando para a figura podemos destacar os seguintes parâmetros:

• F1 = Força aplicada pelo mecânico no macaco;
• F2 = Peso do trator;
• A1 = área do pistão menor;
• A2 = área do pistão maior.

Olhando novamente a figura vemos que o vaso comunicante une os dois pistões internamente, de tal maneira que os dois pistões estão na mesma altura. Logo, as suas pressões hidrostáticas são iguais:

$P_h_1 = P_h_2$

Considerando uma pressão externa atmosférica Pa em ambos pistões, pelo princípio de Arquimedes, teremos:

$P_1 + P_{atm} = P_2 + P_{atm}\\\\P_1 = P_2\\\\\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$

Essa relação também é conhecida como Princípio de Pascal.

Considerando que cada pistão terá sua área aproximada a área de uma circunferência de diâmetro d, teremos:

$\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}\\\\\frac{F_1}{\pi R_1^2} = \frac{F_2}{\pi R_2^2} \\\\\frac{F_1}{R_1^2} = \frac{F_2}{R_2^2}$

Sabendo que o raio vale metade do diâmetro, vamos ficar com:

$\frac{F_1}{(d_1/2)^2} = \frac{F_2}{(d_2/2)^2} \\\\\frac{4F_1}{d_1^2} = \frac{4F_2}{d_2^2} \\\\\frac{F_1}{d_1^2} = \frac{F_2}{d_2^2}$

Substituindo todos os valores fornecidos no enunciado da questão (lembrando que não há necessidade de transformarmos os diâmetros em metros):

$\frac{5}{0,8^2} = \frac{F_2}{85^2} \\\\0,8^2F_2 = 5*85^2\\\\0,64F_2 = 36125\\\\F_2 = 36125/0,64 = 56445,31 N$

Aqui vem o "pulo do gato" da questão, ela nos pede a massa do trator, não seu peso. Considerando uma aceleração da gravidade de 10 m/s²:

P = F2 = mg = 10m

10m = 56445,31

m = 56445,31/10 = 5644,53 kg = 5,6 toneladas

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