Question

Para as integrais a seguir, determine se a
integral imprópria é convergente ou
divergente. Se for convergente, calcule-a.

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{\int_5^{\infty}\dfrac{dx}{\sqrt{x-1}}~\'e~divergente}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para resolvermos a seguinte integral e determinar se ela é convergente ou divergente, devemos nos relembrar de algumas técnicas de integração.

Seja a integral imprópria:

$\displaystyle{\int_5^{\infty}\dfrac{dx}{\sqrt{x-1}}$

Primeiro, lembre-se que podemos calcular a integral imprópria utilizando a propriedade: $\displaystyle{\int_a^{\infty} f(x)\,dx=\underset{b\rightarrow\infty}\lim \int _a^bf(x)\,dx$

Aplicando a propriedade, teremos:

$\displaystyle{\underset{b\rightarrow\infty}\lim\int_5^b\dfrac{dx}{\sqrt{x-1}}$

Faça uma substituição $u=x-1$. Diferenciamos ambos os lados em respeito à variável $x$ para encontrarmos o diferencial $du$:

$u'=(x-1)'\\\\\\ \dfrac{du}{dx}=1$

Multiplique ambos os lados da equação pelo diferencial $dx$

$du=dx$.

Lembre-se que ao alterarmos a variável, devemos alterar também o limite de integração: quando $x\rightarrow5,~u\rightarrow 4$ e quando $x\rightarrow b,~u\rightarrow b-1$.

Assim, a integral se torna:

$\displaystyle{\underset{b\rightarrow\infty}\lim\int_4^{b-1}\dfrac{du}{\sqrt{u}}$

Aplique a regra da potência: reescreva o radical como uma potência de base fracionária e utilize a regra $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$, assim

$\displaystyle{\underset{b\rightarrow\infty}\lim\int_4^{b-1} u^{-\frac{1}{2}}\cdot du}\\\\\\\ \underset{b\rightarrow\infty}\lim~\dfrac{u^{-\frac{1}{2}+1}}{-\dfrac{1}{2}+1}~\biggr|_4^{b-1}$

Some os valores

$\underset{b\rightarrow\infty}\lim~\dfrac{u^{\frac{1}{2}}}{\dfrac{1}{2}}~\biggr|_4^{b-1}$

Calcule a fração de frações

$\underset{b\rightarrow\infty}\lim~2\sqrt{u}~\biggr|_4^{b-1}$

De acordo com o Teorema fundamental do Cálculo, aplique os limites de integração: $\displaystyle{\int_a^bf(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$.

$\underset{b\rightarrow\infty}\lim~(2\sqrt{b-1}-2\sqrt{4})$

Calcule o radical

$\underset{b\rightarrow\infty}\lim~(2\sqrt{b-1}-4)$

Sabendo que o limite está definido em respeito à variável $b$, temos

$\underset{b\rightarrow\infty}\lim~2\sqrt{b-1}-4$

Então, veja que ao calcularmos este limite, teríamos $\underset{b\rightarrow\infty}\lim~2\sqrt{b-1}=\infty$, pois a função cresce rapidamente quando atinge valores muito altos.

Assim, esta integral é divergente e não pode ser calculada.

Answer 2

Resposta:

DIVERGENTE

Explicação passo-a-passo: