Question

Para as funções abaixo, determine seus domínios e interseções com os eixos,
intervalos de crescimento ou decrescimento, extremos relativos, pontos de
inflexão, assíntotas e o esboço de seus gráficos:
a) f(x)=x³+3x²+1
b)f(x)=-3x^5 + 5x³
c) f(x)= x³-x^4
d) f(x)= 2x-3x^2/3

Answer 1

Boa noite!

Irei auxiliar para a letra a), e as outras seguirão da mesma forma, ok?
$f(x)=x^3+3x^2+1$
Domínio:
$D=\mathbb{R}$
Derivando, para obter os pontos críticos:
$f'(x)=3x^2+6x\\f'(x)=0\\3x^2+6x=0\\3x(x+2)=0\\x=0\\x=-2$

Derivando novamente para verificarmos se há pontos de inflexão:
$f''(x)=6x+6\\f''(x)=0\\6x+6=0\\x=-1$

Então, analisando os sinais para a derivada primeira:
f'(x) > 0 para x < -2 ==> função CRESCENTE
f'(x) = 0 para x = -2, f''(-2) = -6 < 0 ==> ponto de MÁXIMO
f'(x) < 0 para -2 < x < 0 ==> função DECRESCENTE
f'(x) = 0 para x = 0, f''(0) = 6 > 0 ==> ponto de MÍNIMO
f'(x) > 0 para x > 0 ==> função CRESCENTE

Analisando a concavidade:
f''(x) < 0 para x < -1 ==> concavidade para baixo
f''(x) = 0 para x = -1 ==> ponto de INFLEXÃO (mudança de concavidade)
f''(x) > 0 para x > -1 ==> concavidade para cima

Interseções:
Eixo das ordenadas (y):
$f(0)=0^3+3(0)^2+1=1$

Eixo das abscissas (x):
Vamos calcular, primeiramente, os valores da função para alguns pontos obtidos anteriormente:
f(-2) = 5
f(-1) = 3
f(0) = 1

Precisamos utilizar algum processo iterativo para obter a raiz. Facilmente podemos perceber que a raiz é um valor menor do que x = -2, pois este é um valor de máximo e a função é crescente antes deste valor. Como f(-2) = 5, teremos em algum valor anterior a interseção.
Veja:
f(-2) = 5
f(-3) = 1
f(-4) = -15

Então, entre -4 < x < -3 teremos uma raiz, asseguradamente.

Não há assíntotas.

O gráfico está anexo.

Espero ter ajudado!