Question

Para abastecer seu estoque, um comerciante comprou um lote de camisetas ao custo de 16 reais a unidade. Sabe-se que em um mês, no qual vendeu (40 – x) unidades dessas camisetas ao preço unitário de x reais, o seu lucro foi máximo. Assim sendo, pela venda de tais camisetas nesse mês, o percentual de aumento repassado aos clientes, calculado sobre o preço unitário que o comerciante pagou na compra do lote, foi de:

Answer 1

Sabendo que o lucro é obtido pela diferença do valor de compra e o valor da venda, temos:

\mathsf{L(x)=V(x)-C(x)}

Sabemos que ele comprou algumas unidades pelo preço de R$ 16,00 cada:

\mathsf{(40-x)\gets~unidades}\\\\\mathsf{x\gets valor~em~reais}\\\\\mathsf{C(x)\gets valor~da~compra~em~func\~ao~do~preco}\\\\\mathsf{C(x)=(40-x)\cdot 16\Rightarrow\boxed{\mathsf{ C(x)=640-16x}}}

Equação de venda:

\mathsf{V(x)=(40-x)\cdot x\Rightarrow \boxed{\mathsf{V(x)=40x-x^2}}}

Portanto a equação de lucro fica:

\mathsf{L(x)=V(x)-C(x)\Rightarrow L(x)=40x-x^2-(640-16x)}\\\\=\\\\\mathsf{L(x)=-x^2+40x-640+16x\Rightarrow \boxed{\mathsf{L(x)=-x^2+56x-640}}}

Temos aqui uma equação quadrática (parábola). Precisamos encontrar a coordenada do x do vértice dessa parábola, que é onde a função terá seu valor máxima, que é o que queremos:

\mathsf{x=\dfrac{-b}{2a}\Rightarrow x=\dfrac{-56}{2.(-1)}\Rightarrow x=\dfrac{-56}{-2}\Rightarrow\boxed{\mathsf{x=28}}}

Portanto, o valor de venda 'x', foi de R$ 28,00.

Calculando o aumento:

\mathsf{28-16=12}\\\\\mathsf{\dfrac{12}{16}=0,75\Rightarrow \boxed{\mathsf{75\%}}}

Teve um aumento de 75% .