Para a função y = (K - 4)x² + 3x - 2 ter concavidade voltada para cima, qual deve ser o valor de K? *
K > 2
K > 4
K > – 2
K > 3
Soluções para a tarefa
Resposta:Vamos começar nosso estudo descobrindo como calcular as coordenadas do vértice em si. Em seguida, entenderemos quando essas coordenadas representam um ponto de máximo e quando se referem a um ponto de mínimo. Acompanhem tudo comigo!
1. UTILIZANDO FÓRMULAS CONHECIDAS
V(xv, yv) onde xv = -b/2a e yv = -delta/4a e delta = bˆ2-4ac
Nós já estudamos no texto Introdução a Função Quadrática que a forma característica da função do 2º grau é f(x) = ax² + bx + c, com a ≠ 0. “a” é o coeficiente do termo x2, e, portanto, não pode ser zero, ou a existência da função estaria comprometida. Enquanto isso, “b” é o coeficiente do termo x, e “c” é o termo independente da função.
Além disso, quem já estudou a natureza das raízes da função quadrática, sabe que para definir se uma função do segundo grau possui duas raízes reais e distintas, duas raízes reais e iguais ou duas raízes imaginárias, é necessário realizar o cálculo do discriminante, ou delta (∆). O valor do delta pode ser calculado através da expressão que se encontra dentro da raiz quadrada da fórmula de Bhaskara, vejam só:
a fórmula do discriminante está dentro da raiz quadrada da fórmula de Bhaskara delta=bˆ2-4ac
Agora, com toda a certeza, nós já sabemos onde encontrar cada um dos elementos apresentados nas fórmulas das coordenadas do vértice. Portanto, temos plenas condições de calcular as coordenadas dos vértices de algumas funções. É isso que faremos no próximo item, vem comigo!
1.1 Exemplo Resolvido
Ferretto aponta para o quadro onde irá resolver um exemplo sobre as coordenadas do vértice da parábola
Dadas as seguintes funções, obtenha as coordenadas de seus vértices:
a. f(x) = –x2 + 4x + 5
Vamos começar definindo o valor dos coeficientes a, b, c, e calculando o valor do ∆ da função:
a = – 1
b = 4
c = 5
∆ = b2 – 4ac
∆ = 42 – 4･(– 1)･5
∆ = 16 + 20
∆ = 36
Pronto! Agora é só substituir os valores encontrados nas fórmulas das coordenadas do vértice:
as coordenadas xv e yv da função f(x) = –xˆ2 + 4x + 5 são 2 e 9
Bem tranquilo, não é? Então vamos a mais um exemplo!
b. f(x) = x2 – 10x + 25
a = 1
b = – 10
c = 25
∆ = b2 – 4ac
∆ = (– 10)2 – 4･1･25
∆ = 100 – 100
∆ = 0
as coordenadas xv e yv da função f(x) = xˆ2 – 10x + 25 são 5 e 0
E aí, o que acharam deste último resultado? Apesar de parecer estranho, não tem nada de errado com o valor zero em uma ou nas duas coordenadas do vértice. Daqui a pouco falaremos mais sobre isso. Sigam comigo!
2. PENSANDO NA SIMETRIA DA PARÁBOLA
parábola em que seu vértice e seu eixo de simetria se encontram em destaque
Dada uma função polinomial do segundo grau f(x) = ax² + bx + c, em que a ≠ 0, o seu gráfico sempre será simétrico em relação a um eixo de simetria, que pode ser o eixo y, ou uma reta paralela a este eixo. Reparem na imagem acima, que o tal eixo de simetria passa pelo vértice da parábola e intercepta o eixo x em um ponto O equidistante das raízes x’ e x”.
Dessa forma, é possível concluir que a coordenada xv da parábola está localizada no ponto médio entre as duas raízes da função. Assim, o seu valor numérico pode ser obtido através do cálculo da média aritmética entre as raízes x’ e x”.
xv = (x' + x")/2
Depois de encontrar a coordenada xv, também é possível encontrar o valor da coordenada yv sem utilizar a fórmula que foi apresentada anteriormente. Para isso, basta calcular o valor da função no ponto xv, substituindo a variável x da função pelo valor numérico de xv.
yv = f(xv)
Mas afinal, será que esse novo método é mesmo mais simples que o anterior? O jeito é testarmos com alguns exemplos. Vem comigo!
2.1 Exercício Resolvido
livro aberto onde está escrito exercício resolvido
Dadas as funções quadráticas abaixo e seus respectivos gráficos, obtenha as coordenadas dos vértices das parábolas.
a. f(x) = x2 + 5x + 4
gráfico da função quadrática f(x) = xˆ2 + 5x + 4
Explicação passo-a-passo:
Para que a concavidade de um gráfico esteja voltada para cima, é necessário que o A seja positivo, portanto precisaremos apenas que o valor de A seja igual ou maior a 1