Question

Para a construção de uma rodovia que ligue duas cidades, em linha reta, foram orçados 500. 000,00, suficiente para construir 125 km. O dinheiro serviria para cobrir os gastos com pavimentação, sinalização e todos os itens necessários nela. Os engenheiros começaram a fazer o projeto e, para isso, colocaram as cidades que deveriam ser ligadas pela rodovia num plano cartesiano, em que a primeira corresponderia ao ponto (−5; 8) e a segunda, ao ponto (4; −18). Se as unidades do plano cartesiano estão em km e o custo da rodovia é proporcional ao km construído, os engenheiros puderam concluir que:.

Answer 1

Resposta:

Olá bom dia!

A distância entre dois pontos A e B no plano cartesiano é:

$D_{AB} = \sqrt{(X_B-X_A)^2+(Y_B-Y_A)^2}$

Considerando as cidades com o sendo:

A = (-5 ; 8)

B = (4 ; -18)

e

Xa = -5 ; Xb = 8

Ya = 4 ; Yb = -18

A distância entre A e B é:

$D_{AB} = \sqrt{(-5-8)^2+(4-(-18))^2} \\\\D_{AB} = \sqrt{(13)^2+(22)^2} \\\\D_{AB} = \sqrt{169+484} \\\\D_{AB} =\sqrt{653} \\\\D_{AB}\ \~=\ 25,55$

Como a distância entre as cidades é 25,55 km e o orçamento de  R$ 500.000 dá para construir 125 km, uma das conclusões é que o custo para se construir a rodovia que liga A e B é 5 vezes menor que o que foi orçado.

Ou seja, para ligar essas 2 cidades são necessários aproximadamente 100 mil reais.

Answer 2

Os engenheiros concluíram que o orçamento é de R$390.000,00 acima do necessário.

Distância entre pontos

• Os pontos são dados por coordenadas na forma (x, y);
• A distância entre dois pontos pode ser calculada pela fórmula d² = (xB - xA)² + (yB - yA)².

Calculando a distância entre os pontos que representam as duas cidades, temos:

d² = (4 - (-5))² + (-18 - 8)²

d² = 81 + 676

d² = 757

d = √757 ≈ 27,5 km

Pela regra de três, teremos que:

R$500.000,00 ⇔ 125 km

x ⇔ 27,5 km

125x = 27,5·R$500.000,00

x = R$110.000,00

Portanto, o orçamento é de R$390.000,00 acima do necessário.

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