Para a construção de uma ponte, um fazendeiro usa a seguinte estratégia para determinar a largura do rio. Ele marca, na sua margem, um ponto que está em linha reta com uma árvore na margem oposta. Em seguida ele caminha pela margem 5 metros para a direita e observa que o ângulo formado entre a marcação colocada e a árvore da margem oposta é de 60°. Qual deve ser o tamanho da ponte que ele deverá construir para atravessar o rio?
Escolha a opção correta:
a. 7,5 metros
b. 8,66 metros
c. 5 metros
d. 9,23 metros
e. 11,13 metros
Soluções para a tarefa
Resposta:
Explicação passo a passo:
Ângulo encontrado 60º, Distância oposta a origem 5 m, Tang =?
5,0 m x tang 60º = 8,66. Logo: 5^2 + 8,66^2 = Hip^2
25 + 75 = 100
100 - 25 = 75
Raiz de 75 = 8,66
Ou 5,0 m x tang 60° = 8,66
De toda forma e maneira bem simples encontra-se o valor, posteriormente reescreva de maneira bem didática para um modelo de cálculo que convença o professor ou banca.
"Formulação"
Resposta:
A ponte terá o comprimento aproximado de 8,66 metros.
Por favor, acompanhar a Explicação.
Explicação passo-a-passo:
A Estratégia adotada pelo fazendeiro, ao construir a ponte, consistiu em fazer três referências de marcação, a saber:
- 1ª referência: o ponto inicial, na margem em que o fazendeiro se encontra;
- 2ª referência: a árvore, situada na margem oposta à que o fazendeiro se encontra;
- 3ª referência: o ponto, 6 metros distante do ponto inicial, que forma, com a árvore da margem oposta, um ângulo de 60⁰.
Podemos observar que os segmentos de reta que unem estas 3 referências, duas a duas, formam um triângulo retângulo, cujos ângulos internos 30°, 60° e 90°.
Vamos identificar os ângulos formados:
- Ângulo de 30⁰: é o ângulo formado entre a árvore, situada na margem oposta, que é a 2ª referência, e as outras duas referências.
- Ângulo de 60⁰: já descrito na Tarefa;
- Ângulo de 90⁰: ângulo reto, formado entre a 1ª referência e a 3ª referência.
Lembrete Importante: em um triângulo com ângulos medindo de 30°, 60° e 90°, o cateto oposto ao ângulo de 30° mede a metade da medida da hipotenusa e o cateto oposto ao ângulo de 60° mede a metade da medida da hipotenusa multiplicada por √3.
Agora, vamos determinar os lados que são Catetos é o Lado que é Hipotenusa:
- Hipotenusa: é o maior lado do triângulo retângulo e corresponde ao lado de maior medida. Na Tarefa, este lado corresponde à distância entre a segunda marcação do fazendeiro e a árvore.
- Cateto Oposto ao Ângulo de 30⁰: distância entre a 1ª marcação e a 2ª marcação = 5 metros.
- Cateto Oposto ao Ângulo de 60⁰: distância entre a 1ª marcação e a árvore situada na margem oposta. É exatamente a medida do comprimento da ponte.
Como o Cateto Oposto ao Ângulo de 30⁰ mede 5 metros, e este valor corresponde à metade da medida da Hipotenusa, teremos que a Hipotenusa medirá 2×5 = 10 metros.
Por fim, o Cateto Oposto ao Ângulo de 60⁰, que mede a metade da medida da Hipotenusa multiplicada pela raiz quadrada de 3, medirá (10÷2)×√3 = 5√3 metros ou aproximadamente 8,66 metros.