Question

Para a construção de isolamento acústico numa parede cuja área mede 9 m2, sabe-se que, se a fonte sonora estiver a 3 m do plano da parede, o custo é de R$ 500,00. Nesse tipo de isolamento, a espessura do material que reveste a parede é inversamente proporcional ao quadrado da distância até a fonte sonora, e o custo é diretamente proporcional ao volume do material do revestimento.
Uma expressão que fornece o custo para revestir uma parede de área A (em metro quadrado), situada a D metros da fonte sonora, é

a) 500x81 / A x D²
b) 500xA / D²
c) 500xD² / A
d) 500xAxD² / 81
e) 500x3xD² / A

Answer 1

Sejam $e_{d}$ e $e_{g}$, em metros, as respectivas espessuras do isolamento acústico da parede dada e de uma parede genérica.

Em metros cúbicos, os volumes do isolamento da parede dada e da parede genérica são respectivamente:$V_{d} = 9 . e_{d}$ e $V_{g} = A . e_{g} .$.

Como a espessura do revestimento é inversamente proporcional ao quadrado da distância da fonte até a parede, temos 3² . $e_{d}$ = D² . $e_{g}$ ⇒  $e_{g}$ = $\frac{9 e_{d} }{D^2}$

Sendo o custo, em reais, diretamente proporcional ao volume do revestimento, o custo C de uma parede genérica é tal que:

$\frac{C}{V_g} = \frac{500}{V_d}$ ⇔ C = 500 . $\frac{V_g}{V_d}$  = 500 . $\frac{A.e_g}{9.e_d}$ ⇔
⇔ C = 500 . $\frac{A. \frac{9e_d}{D^2} }{9.e_d}$ ⇔ 
⇔ C = $\frac{500 . A}{D^2}$

Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo

Passo 1: foi dito, no problema, que a espessura "e" do material que reveste a parede é inversamente proporcional ao quadrado da distância "d" a fonte, ou seja, $e \varpropto \frac{1}{d^2}$. Também foi dito que o custo "c" é diretamente proporcional ao volume do material do revestimento, isto é, $c \varpropto V$.

Passo 2: relacionando as duas proporcionalidades do passo 1 e lembrando que o volume de um paralelepípedo retângulo (formato duma parede) é o produto entre a área e a espessura, isto é, $V = A \cdot e$, obtemos:

$c \varpropto V \Rightarrow c \varpropto A \cdot e \Rightarrow c \varpropto A \cdot \dfrac{1}{d^2} \Rightarrow c = k \cdot A \cdot \dfrac{1}{d^2}$

Passo 3: substituindo os valores do custo "c", da área "A" da parede e da distância "d" dados no problema, calculamos a constante k.

Assim:

$c = k \cdot A \cdot \dfrac{1}{d^2} \Rightarrow 500 = k \cdot 9 \cdot \dfrac{1}{3^2} \Rightarrow k = 500$

Então, para calcular o custo para qualquer distância da fonte e área da parede basta usar a fórmula:

$c = 500\ \cdot \dfrac{A}{d^2}$