Question

(PAEBES – 2015) Qual é o conjunto solução da equação ... da equação trigonométrica definida por 2 .cos⁡(2x)=1, U = [0 , 2π]?

Answer 1

Resposta:

     Conjunto solução:   $S=\left\{\dfrac{\pi}{3},\,\dfrac{5\pi}{3}\right\}.$

Explicação passo a passo:

Resolver a equação trigonométrica, com $x\in[0,\,2\pi]:$

     $2\cos(2x)=1\\\\ \Longleftrightarrow\quad \cos(2x)=\dfrac{1}{2}\\\\ \Longleftrightarrow\quad \cos(2x)=\cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$

Temos acima uma igualdade entre cossenos.

Na mesma volta positiva, os cossenos são iguais somente se os arcos forem iguais ou se suas imagens forem simétricas em relação ao eixo horizontal dos cossenos. Portanto, devemos ter

     $\Longleftrightarrow\quad x=\dfrac{\pi}{3}+(2k)\pi\quad\mathrm{ou}\quad x=\left(2\pi-\dfrac{\pi}{3}\right)+(2k)\pi\\\\ \Longleftrightarrow\quad x=\dfrac{\pi}{3}+(2k)\pi\quad\mathrm{ou}\quad x=\dfrac{6\pi-\pi}{3}+(2k)\pi\\\\ \Longleftrightarrow\quad x=\dfrac{\pi}{3}+(2k)\pi\quad\mathrm{ou}\quad x=\dfrac{5\pi}{3}+(2k)\pi$

com k inteiro.

Só nos interessam as soluções que estão no intervalo $[0,\,2\pi],$ e as obtemos para k = 0:

     $\Longrightarrow\quad \boxed{~x=\dfrac{\pi}{3}\quad\mathrm{ou}\quad x=\dfrac{5\pi}{3}~}$

Conjunto solução:   $S=\left\{\dfrac{\pi}{3},\,\dfrac{5\pi}{3}\right\}.$

Bons estudos! :-)