Question

P(t)= 21/2+2cos(π/6t + 5π/4)

Onde t é o tempo (em horas) decorrido após o início da observação (t=0) e
P(t) é a profundidade da água (em metros) no instante t.
Quantas horas após o início da observação ocorreu a primeira maré alta?

Answer 1

a primeira maré será o ponto critico dessa função:

P(t)' = dP/dt



\\ \frac{dP}{dt} =  \frac{-Sen(\frac{ \pi t}{6}+ \frac{5 \pi }{4} ) \pi }{3} 

Igualando-se a zero:

$\\ \frac{dP}{dt} = \frac{d[ \frac{21}{2} +2Cos( \frac{ \pi t}{6}+ \frac{5 \pi }{4} )] }{dt} \\ \\ \frac{dP}{dt} = 0+2*-Sen( \frac{ \pi t}{6}+ \frac{5 \pi }{4} )*( \frac{ \pi t}{6}+ \frac{5 \pi }{4} )' \\ \\ \frac{dP}{dt} = -2*Sen( \frac{ \pi t}{6}+ \frac{5 \pi }{4} )*( \frac{ \pi }{6} +0) \\ \\ \frac{dP}{dt} = -2*Sen( \frac{ \pi t}{6}+ \frac{5 \pi }{4} )*\frac{ \pi }{6} \\ \\ \frac{dP}{dt} = \frac{-Sen(\frac{ \pi t}{6}+ \frac{5 \pi }{4} ) \pi }{3}$

$\\ \frac{-Sen(\frac{ \pi t}{6}+ \frac{5 \pi }{4} ) \pi }{3} = 0 \\ \\ \frac{ \pi t}{6}+ \frac{5 \pi }{4} = 0 \\ \\ \frac{ \pi t}{6}+ \frac{5 \pi }{4} = \pi \\ \\ ou \\ \\ \frac{ \pi t}{6}+ \frac{5 \pi }{4} = 2 \pi \\ \\ \frac{ \pi t}{6}+ \frac{5 \pi }{4} = \pi \\ \\ \frac{t}{6} + \frac{5}{4} = 1 \\ \\ \frac{t}{6} = 1-\frac{5 }{4} \\ \\ \frac{t}{6} = - \frac{1}{4} \\ \\ 4t = -6 \\ \\ t = -\frac{3}{2} h$

Como t não pode ser negativo. Testamos outro valor que é 2pi

$\\ \frac{ \pi t}{6}+ \frac{5 \pi }{4} = 2 \pi \\ \\ \frac{ t}{6}+ \frac{5 }{4} = 2 \\ \\ \frac{ t}{6} = 2- \frac{5}{4} \\ \\ \frac{ t}{6} = \frac{3}{4} \\ \\ 4t = 18 \\ \\ t = \frac{9}{2} h \\ \\ t = 4,5h \\ \\ t = 4h+0,5h \\ \\ t = 4h+30min$