Question

P.A

Sejam as sequências 1(-36,-28,-20,...) e 2(-3,1,5,...). Qual o número mínimo de termos que devem ser considerados a fim de que S1 > S2?

Answer 1

Vamos começar determinando as razões de 1 e 2:

$razao_{_1}~=~a_2-a_1\\\\razao_{_1}~=~-28-(-36)\\\\razao_{_1}~=~-28+36\\\\\boxed{razao_{_1}~=~8}\\\\\\razao_{_2}~=~a_2-a_1\\\\razao_{_2}~=~1-(-3)\\\\razao_{_2}~=~1+3\\\\\boxed{razao_{_2}~=~4}$

Vamos agora, utilizando a equação do termo geral da PA, achar uma expressão para o ultimo termo (an) de cada sequencia:

$\boxed{a_n=a_1+(n-1).r}\\\\\\a_{n_1}~=~a_{1_1}+(n-1).r\\\\a_{n_1}~=~-36+(n-1).8\\\\a_{n_1}~=~-36+8n-8\\\\\boxed{a_{n_1}~=~8n-44}\\\\\\a_{n_2}~=~a_{1_2}+(n-1).r\\\\a_{n_2}~=~-3+(n-1).4\\\\a_{n_2}~=~-3+4n-4\\\\\boxed{a_{n_1}~=~4n-7}$

Substituindo os dados encontrados na equação da soma para cada sequencia:

$S_{n_1}=\frac{(a_{1_1}+a_{n_1}).n}{2}\\\\S_{n_1}=\frac{(-36+8n-44).n}{2}\\\\\boxed{S_{n_1}=\frac{(8n-80).n}{2}}\\\\\\\\S_{n_2}=\frac{(a_{1_2}+a_{n_2}).n}{2}\\\\S_{n_2}=\frac{(-3+4n-7).n}{2}\\\\\boxed{S_{n_2}=\frac{(4n-10).n}{2}}$

Por fim, vamos achar o numero mínimo de termos (n), pela inequação:

$S_{n_1}>S_{n_2}\\\\\\\frac{(8n-80).n}{2}}>\frac{(4n-10).n}{2}\\\\\\Podemos~simplificar~o~denominador~e~o~termo~'n'~nos~dois~lados\\\\\\(8n-80)>(4n-10)\\\\\\8n-4n>-10+80\\\\\\4n>70\\\\\\n>\frac{70}{4}\\\\\\n>\frac{35}{2}\\\\\\\boxed{n>17,5}$

Como o numero de termos deve ser um numero Natural, as sequencias devem possuir minimamente 18 termos para que S1 seja maior que S2.

Resposta: 18 termos