Question

(P.A) Numa caixa há 1000 bolinhas de gude. Retiram-se 15 na primeira vez,20 na segunda, e 25 na terceira e assim sucessivamente na mesma razão. após a décima quinta retirada, sobrarão quantas bolinhas na caixa?

Answer 1

A quantidade de bolinhas retiradas é igual a soma de uma P. A. de razão 5 até o décimo quinto termo.
Para obter essa soma primeiro é preciso calcular o décimo quinto termo com a fórmula do termo geral:
an=a1+(n-1)×r
a15=15+(15-1)×5
a15=15+14×5
a15=15+70=85
agora calcularemos a soma dos termos dessa P.A. que será a quantidade de bolinhas retiradas:
Sn=(a1+an)×n/2
Sn=(15+85)×15/2
Sn=(100)×15/2
Sn=750
...
Sobrarão então 1000-750=250 bolinhas

Answer 2

Dados:

$a_1=15 \quad bolinhas \quad de \quad gude \\ \\ a_2= 20 \quad bolinhas \quad de \quad gude\\ \\ a_3= 25 \quad bolinhas \quad de \quad gude\\ \\ r=?\\ \\ a_1_5=?\\ \\ S_1_5=?$

Resolução:

Primeiramente, utilizando a fórmula da razão de uma progressão aritmética (PA):

$\boxed{r=a_{n+1}-a_n}$

Onde:

r= razão

$a_{n+1}-a_n$  = diferença entre dois termos consecutivos (o posterior menos o anterior)

$r=a_{n+1}+a_n\\ \\ r=a_2-a_1=a_3-a_2\\ \\ r=20-15=25-20\\ \\ \boxed{r=5 \quad bolinhas \quad de \quad gude}$

Em seguida, usando a fórmula do termo geral de PA:

$\boxed{a_n=a_1+(n-1) \cdot r}$

Onde:

$a_n$ = enésimo termo

$a_1$ = primeiro termo

n = número de termos

r = razão

$a_n=a_1+(n-1) \cdot r\\ \\ a_{15}=a_1+(n-1) \cdot r\\ \\ a_{15}=15+(15-1) \cdot 5\\ \\ a_{15}=15+14 \cdot 5\\ \\ a_{15}=15+70\\ \\ \boxed{a_{15}=85 \quad bolinhas \quad de \quad gude}$

Depois, utilizando a fórmula da soma dos n termos de uma PA:

$\boxed{S_n=\dfrac{(a_1+a_n) \cdot n}{2}}$

Onde:

$S_n$ = soma dos n termos

$a_1$ = primeiro termo

$a_n$ = enésimo termo

n = número de termos

$S_n=\dfrac{(a_1+a_n) \cdot n}{2}\\ \\ S_{15}=\dfrac{(a_1+a_{15}) \cdot n}{2} \\ \\ S_{15}=\dfrac{(15+85) \cdot 15}{2} \\ \\ S_{15}=\dfrac{100 \cdot 15}{2} \\ \\ S_{15}=\dfrac{1500}{2}\\ \\ \boxed{S_{15}=750 \quad bolinhas \quad de \quad gude}$

Por fim, calculando a diferença:

1000-750 = 250 bolinhas de gude

Resposta:  após a décima quinta retirada, sobrarão na caixa 250 bolinhas de gude.

Bons estudos!!