Outro ponto a ser analisado em seu relatório é uma outra trajetória dos carrinhos de tal forma que não haja colisão entre eles. Sabemos que as trajetórias desses carrinhos, ao longo do espaço destinado a pista, se intercepta em uma ponto A. Considere que um dos carrinhos passa por A em um determinado momento, dirigindo-se para o leste da pista à 3 /ℎ. No mesmo instante, o outro carrinho está 0,004 km ao norte de A e se dirige para o sul da pista a 4 /ℎ. O objetivo é que você determine em que instante os dois carrinhos estão próximos um do outro, e qual a distância mínima entre eles, não havendo assim uma colisão. A figura 3 ilustra a trajetória dos carrinhos.
Soluções para a tarefa
Resposta:
O instante em que os dois carrinhos estão mais próximos é t = 0,00064 h, ou t = 2,304 s. Nesse instante a distância será de 0,0024 km = 2,4 m.
Explicação:
O triângulo formado pelo segmento de reta ligando o dois carrinhos e as pistas perpendiculares entre si é retângulo. O segmento de reta que liga os carrinhos é a hipotenusa, então podemos usar o Teorema de Pitágoras:
d(t)^2 = (0,004-4*t)^2 + 9*t^2
d(t)^2 = 16*t^2 + 9*t^2 - 0,032*t + 0,000016
d(t)^2 = 25*t^2 - 0,032*t + 0,000016
d(t) = raiz(25*t^2 - 0,032*t + 0,000016)
Podemos encontrar a distância mínima de duas formas: calculando a derivada de d^2 e encontrando o ponto onde ela é zero, ou traçando o gráfico de d ou d^2 e buscando o ponto de mínimo visualmente.
1) Pelo cálculo da derivada.
Calculemos a derivada de f(t) = d(t)^2:
f'(t) = 50*t - 0,032
f'(t) = 0 => 50*t - 0,032 = 0
=> t = 0,032/50 = 0,00064 h
2) Graficamente.
Veja o gráfico de d(t) na imagem da planilha, na tabela da esquerda vemos que o mínimo ocorre entre 0,0006 e 0,0007. Diminuindo o intervalo entre valores consecutivos de t na planilha podemos obter uma aproximação melhor.
