Question

Os vetores v ≥ 0 para os quais existe um determinado valor que resolve a equação abaixo são chamados de autovetores da matriz A e os valores que conjuntamente com v resolvem a equação são chamados de autovalores da matriz A associados aos respectivos autovetores.


O polinômio de grau “n” resultante deste procedimento é conhecido como polinômio característico. As raízes do polinômio característico são os autovalores da matriz A.


UNICAMP (Adaptado), 2018.


Julgue as afirmações abaixo:


Estão corretas: ​
Alternativa 1: I e II, apenas.
Alternativa 2: II e III, apenas.
Alternativa 3: I, II, III e IV.
Alternativa 4: II, III e IV, apenas.
Alternativa 5: III e IV, apenas.

Answer 1

Vamos calcular o polinômio característico de cada matriz:

I) $p(x)=det\left[\begin{array}{ccc}x-1&-1\\-2&x-1\end{array}\right]$

p(x) = (x - 1)² - 2

p(x) = x² - 2x + 1 - 2

p(x) = x² - 2x - 1

p(x) = (x - (1 - √2))(x - (1 + √2))

Os autovalores são 1 - √2 e 1 + √2. A afirmativa está errada.

II) $p(x)=det\left[\begin{array}{ccc}x-1&-1\\0&x-1\end{array}\right]$

p(x) = (x - 1)²

O autovalor é 1. A afirmativa está correta.

III) $p(x)=det\left[\begin{array}{ccc}x-1&-1\\-1&x+3\end{array}\right]$

p(x) = (x - 1)(x + 3) - 1

p(x) = x² + 3x - x - 3 - 1

p(x) = x² + 2x - 4

p(x) = (x - (-1 - √5))(x - (√5 - 1))

Os autovalores são: -1 - √5 e √5 - 1. A afirmativa está errada.

IV) $p(x)=det\left[\begin{array}{ccc}x-1&-4\\-1&x-1\end{array}\right]$

p(x) = (x - 1)² - 4

p(x) = x² - 2x + 1 - 4

p(x) = x² - 2x - 3

p(x) = (x + 1)(x - 3)

Os autovalores são -1 e 3. A afirmativa está correta.

Verifique se as alternativas estão corretas.

Answer 2

Resposta:

NÃO TEM ESTA OPÇÃO, APENAS

Alternativas

Alternativa 1:

I e II, apenas.

Alternativa 2:

II e III, apenas.

Alternativa 3:

I, II, III e IV.

Alternativa 4:

II, III e IV, apenas.

Alternativa 5:

III e IV, apenas.