Question

os vetores u,v e w são mutuamente ortogonais e formam,nessa ordem,um terno ordenado positivo.Sabendo que ||u||=4,||v||=2 e ||w||=3,calcule o produto misto[u,v,w].

Answer 1

Bom, se são positivos, então os vetores formam uma base positiva, e a altura do paralelepípedo é determinada sempre pelo vetor w, mas somente se estes forem ortogonais entre si. Daí vamos considerar as seguintes expressões, lembrando que sen 90º = 1 e que o produto misto nada mais é que o cálculo do volume desse paralelepípedo.

$\displaystyle || \vec{u} \times \vec{v} || = || \vec{u} || \cdot || \vec{v} || \cdot \sin \theta \\ \\ \\ || \vec{u} \times \vec{v} || = 4 \cdot 2 \cdot 1 \\ \\ \\ || \vec{u} \times \vec{v} || = 8 \\ \\ \\ ==== \\ \\ \\ v = [ \vec{u} , \vec{v} , \vec{w} ] \\ \\ \\ v = || \vec{u} \times \vec{v} || \cdot h \\ \\ \\ v = 8 \cdot 3 \\ \\ \\ \boxed{ v = 24 }$