Question

Os vetores u=(2,5) e v= (k, -4) são ortogonais. O módulo do produto vetorial u x v é

a)29
b)37
c)40
d)42
e)58

Answer 1

Bom, o produto vetorial como a gente conhece não está definido no $\mathbb{R}^2,$ a menos que enxerguemos tais vetores do plano como vetores do $\mathbb{R}^3,$ onde a 3ª coordenada é nula (cota zero):

$\overrightarrow{\mathbf{u}}=(2,\,5,\,0)\\\\ \overrightarrow{\mathbf{v}}=(k,\,-4,\,0)$

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Sabemos que $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ e $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ são ortogonais. Portanto, o produto escalar entre eles é nulo:

$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=0\\\\ (2,\,5,\,0)\cdot (k,\,-4,\,0)=0\\\\ 2\cdot k+5\cdot (-4)+0\cdot 0=0\\\\ 2k-20=0\\\\ 2k=20\\\\ \boxed{\begin{array}{c}k=10 \end{array}}$


Portanto,

$\overrightarrow{\mathbf{v}}=(10,\,-4,\,0).$
 
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Calculando o produto vetorial:

$\overrightarrow{\mathbf{u}}\times\overrightarrow{\mathbf{v}}=\det\!\left[ \begin{array}{ccc} \overrightarrow{\mathbf{i}}&\overrightarrow{\mathbf{j}}&\overrightarrow{\mathbf{k}}\\ 2&5&0\\ 10&-4&0 \end{array} \right ]\\\\\\ \overrightarrow{\mathbf{u}}\times\overrightarrow{\mathbf{v}}=(2\cdot (-4)-10\cdot 5)\overrightarrow{\mathbf{k}}\\\\ \overrightarrow{\mathbf{u}}\times\overrightarrow{\mathbf{v}}=(-8-50)\overrightarrow{\mathbf{k}}\\\\ \overrightarrow{\mathbf{u}}\times\overrightarrow{\mathbf{v}}=(0,\,0,\,-58)$


Como queremos o módulo do produto vetorial,

$\|\overrightarrow{\mathbf{u}}\times\overrightarrow{\mathbf{v}}\|=\|(0,\,0,\,-58)\|\\\\ \|\overrightarrow{\mathbf{u}}\times\overrightarrow{\mathbf{v}}\|=\sqrt{0^2+0^2+(-58)^2}\\\\ \|\overrightarrow{\mathbf{u}}\times\overrightarrow{\mathbf{v}}\|=\sqrt{58^2}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\|\overrightarrow{\mathbf{u}}\times\overrightarrow{\mathbf{v}}\|=58 \end{array}}$


Resposta: alternativa $\text{e) }58.$