Question

Os vetores são muito úteis para representar geometricamente retas, planos, calcular áreas e volumes de figuras geométricas. É um dos recursos da Geometria Analítica que permite fazer cálculos com certa facilidade e agilidade. Considere os seguintes pontos apresentados em R3. Pontos com medidas dadas em cm: Com estes pontos calcule: a) As áreas superficiais de cada um dos 3 triângulos formados pelos vetores: - CB e CX1 - CA e CY - CD e CX2 Faça um esboço dos vetores nos planos em que se encontram. Dica: O ângulo entre os vetores pode ser calculado pela função arcotangente (tan-1) presente nas calculadoras científicas, somente não se esqueça de configurar o ângulo em graus (º), arredondando o ângulo com uma casa decimal. b) O volume do paralelepípedo formado pelos vetores CX1, CY e CA.

Answer 1

Resposta:

CB e CX1

CB= B-C = (3,0,5)

CX1= X1-C=(3,0,0)

| i   j   k  |  i   j   k

| 3  0  5 | 3  0  5

| 3  0  0 | 3  0  0

faz a determinante

(i0+j15+k0)-(j0+i0+k0)=15

||V||=$\sqrt{x} 15x^{2}$

Area= 15:2= 7,5

Explicação passo-a-passo:

as outras questões faz a mesma coisa

Answer 2

Resposta:

CB e CX1: área: 7,5 cm²

CA e CY:  área: 17,5 cm²

CD e CX2: área: 27 cm²

Volume: 105 cm³

Explicação passo-a-passo:

Faltou mencionar no enunciado do problema que as coordenadas dos pontos são:

A=(0,5,7), B=(3,0,5), C=(0,0,0), D=(6,9,0), X1=(3,0,0), Y=(0,5,0), X2=(6,0,0)

Item a)  Assista o vídeo com a explicação no Youtube:

https://www.youtube.com/watch?v=-01E-PYnFuI

(copie e cole o link na barra de endereços do seu navegador para acessar o vídeo)

Edit: Atendendo ao pedido que o Waldir fez nos comentários abaixo:

$\overrightarrow{CA}\text{ e }\overrightarrow{CY}:det\left(\begin{array}{ccc}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\0&5&7\\0&5&0\end{array}\right)$

$\overrightarrow{CD}\text{ e }\overrightarrow{CX2}:det\left(\begin{array}{ccc}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\6&9&0\\6&0&0\end{array}\right)$

Agora é só calcular os determinantes e o módulo do produto vetorial da forma como o Alexandre Bassi ensinou na resposta acima

Item b) O volume é dado pelo módulo do produto misto entre os vetores CX1, CY e CA, ou seja,

$V=|(\overrightarrow{CX1},\overrightarrow{CY},\overrightarrow{CA})|$

$V=\left|det\left(\begin{array}{ccc}3&0&0\\0&5&0\\0&5&7\end{array}\right)\right|$

$V=105\ cm^3$