Question

Os vetores podem ser representados e operados em suas formas geométricas, o que ajuda
consideravelmente na interpretação, no entanto se estas operações forem realizadas
algebricamente, obtém-se uma maior precisão nos resultados e maior quantidade de
informações (módulo, direção e sentido). O módulo de um vetor expressa o comprimento ou
a magnitude desse vetor. Com base nas informações apresentadas, dados os vetores
→ → →
u = m i + j
e
→ → →
v = 4 i + 2 j
. O valor positivo de m, sabendo que o módulo de
→ →
u+ v
é 6, será:

Answer 1

O valor positivo de m é -4 + 3√3.

Observe que os vetores u e v são iguais a u = (m,1) e v = (4,2).

Para somar dois vetores, precisamos somar as coordenadas correspondentes. Sendo assim, temos que:

u + v = (m, 1) + (4, 2)

u + v = (m + 4, 1 + 2)

u + v = (m + 4, 3).

De acordo com o enunciado, o módulo do vetor u + v é 6.

Para calcular o módulo de um vetor, precisamos calcular a raiz quadrada da soma dos quadrados das coordenadas do vetor.

Dito isso, obtemos:

||u + v|| = 6

||u + v||² = 36

(m + 4)² + 3² = 36

m² + 8m + 16 + 9 - 36 = 0

m² + 8m - 11 = 0.

Resolvendo a equação do segundo grau acima:

Δ = 8² - 4.1.(-11)

Δ = 64 + 44

Δ = 108

$m=\frac{-8+-\sqrt{108}}{2}$

$m=\frac{-8+-6\sqrt{3}}{2}$

m = -4 ± 3√3.

Como queremos o valor positivo de m, então podemos concluir que m = -4 + 3√3.