Question

os vetores a =(2, -1, -3), b =(-1, 1, -4) e c =(m+1,m, -1) determinam um paralelepípedo de volume 42. Calcular m.

Answer 1

Volume = (Lado) * (comprimento) * (altura)
é a multiplicação dos lados

como são vetores
a = Lado
B = comprimento
C = altura 

o volume do paraelepipedo vai ser igual o produto misto entre os vetores
que é o modulo da matriz formada pelos 3 vetores


$Volume= \begin{Vmatrix} \left[\begin{array}{ccc}2&-1&-3\\-1&1&-4\\(m+1)&m&-1\end{array}\right]} \end{Vmatrix}$

resolvendo essa matriz

da esquerda para direita
$[2*1*(-1)]+[-1*(-4)*(m+1)] + [-3*(-1)*m]\\\\=[-2] + [4m+4] + [3m]\\\\=7m+2$

da direita pra esquerda
$-[-1*(-1)*(-1)] -[2*(-4)*m] -[-3*1*(m+1)]\\\\=-[-1] - [-8m] - [-3m-3]\\\\=1+8m+3m+3\\\\=11m+4$

temos
$Volume = |7m+2 +11m +4|\\\\ Volume = |18m+6|$

o volume é 42
e é o modulo de 18m +6

$42 = 18m+6\\\\m= \frac{42-6}{18} =2$

ou 
$-42=18m+6\\\\m= \frac{-42-6}{18}= \frac{-48}{18} = \frac{-8}{3}$