Question

os vertices de um triangulo sao os pontos a(2.6) b(4.2) c(6.4).calcule o comprimento da mediana relativa ao lado bc.

Answer 1

Veja a ilustração em anexo.

As coordenadas do ponto médio $M$ do segmento $\overline{BC}$, sendo $B(x_{B},y_{B})$ e $C(x_{C},y_{C})$ são dados por

$M(x_{M},y_{M})$

onde

$\left\{\begin{matrix} x_{M}=\frac{x_{B}+x_{C}}{2}\\ \\ y_{M}=\frac{y_{B}+y_{C}}{2} \end{matrix}\right.$

Para este problema, temos então que

$x_{M}=\frac{x_{B}+x_{C}}{2}\\ \\ x_{M}=\frac{4+6}{2}=\frac{10}{2} \Rightarrow x_{M}=5$

$y_{M}=\frac{y_{B}+y_{C}}{2}\\ \\ y_{M}=\frac{2+4}{2}=\frac{6}{2} \Rightarrow y_{M}=3$

Então, o ponto médio do segmento $\overline{BC}$ é o ponto $M(5,3)$.

A mediana em relação ao lado $\overline{BC}$ é um segmento que liga o ponto $A$ ao ponto médio do segmento $\overline{BC}$ (o ponto $M$). Então, a mediana é o segmento $\overline{AM}$.

O comprimento desta mediana é a distância entre os pontos $A$ e $M$, que é dada pela fórmula da distância entre dois pontos:

$d_{AM}=\sqrt{\left(x_{M}-x_{A} \right )^{2}+\left(y_{M}-y_{A} \right )^{2}}$

$d_{AM}=\sqrt{\left(5-2 \right )^{2}+\left(3-6 \right )^{2}}\\ \\ d_{AM}=\sqrt{\left(3 \right )^{2}+\left(-3 \right )^{2}}\\ \\ d_{AM}=\sqrt{\left(9 \right )+\left(9 \right )}\\ \\ d_{AM}=\sqrt{2 \cdot 9}\\ \\ d_{AM}=\sqrt{2 \cdot 3^{2}}\\ \\ d_{AM}=\sqrt{2} \cdot \sqrt{3^{2}} \Rightarrow d_{AM}=3\sqrt{2} \text{ u.c.}$