Question

os vértices de um triângulo retângulo são equidistantes do ponto médio de sua hipotenusa sabendo que no triângulo m(3,4) é o ponto médio da hipotenusa ab e que a(-1,-2).Determine as coordenadas dos vértices B e C.

O gabarito é B(7,10) C(9,0) ou C(-3,8)

Answer 1

As coordenadas dos vértices B e C são: B = (7,10), C = (9,0) ou C = (-3,8).

Distância entre pontos

• Os pontos são dados por coordenadas na forma (x, y);

• A distância entre dois pontos pode ser calculada pela fórmula d² = (xB - xA)² + (yB - yA)².

Sabendo as coordenadas do ponto médio e do ponto A, temos que o vértice B será:

xM = (xA + xB)/2

3 = (-1 + xB)/2

-1 + xB = 6

xB = 7

yM = (yA + yB)/2

4 = (-2 + yB)/2

-2 + yB = 8

yB = 10

Sabemos também que os vértices são equidistantes do ponto médio, ou seja:

d(B, M) = d(C, M)

√(xM - xB)² + (yM - yB)² = √(xM - xC)² + (yM - yC)²

√(3 - 7)² + (4 - 10)² = √(3 - xC)² + (4 - yC)²

√(16 + 36) = √(3 - xC)² + (4 - yC)²

16 + 36 = (3 - xC)² + (4 - yC)²

A solução é dada em dois casos:

• 1º caso:

16 = (3 - xC)²

36 = (4 - yC)²

• 2° caso:

36 = (3 - xC)²

16 = (4 - yC)²

Resolvendo:

• 1º caso:

3 - xC = ±4

xC = -1 ou xC = 7

4 - yC = ±6

yC = -2 ou yC = 10

C = (-1, -2) ou C = (7, 10)

Note que os valores de C aqui são os mesmos que em A e B.

• 2º caso:

3 - xC = ±6

xC = -3 ou xC = 9

4 - yC = ±4

yC = 0 ou yC = 8

C = (-3, 8) ou C = (9, 0)

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