Question

Os valores x ∈ ℜ , para os quais a expressão $\frac{2-x}{3+x}$ é o seno de um ângulo, são:
(a) x < -3 ou x > 3
(b) x < 3 ou x >= -1/2
(c) x > -3
(d) x <= -1/2 e x != -3
(e) x >= -1/2

Answer 1

Boa tarde

sin(α) = (2 - x)/(x + 3)

-1 <  (2 - x)/(x + 3) < 1

x  ≥ -1/2 (E) 

Answer 2

Olá



$\displaystyle\mathsf{ \frac{2-x}{x+3} }\\\\\\\mathsf{sen\theta = \frac{2-x}{x+3} }$


Sabemos que o intervalo do seno está entre -1 e 1.
Então a expressão também está entre -1 e 1


$\displaystyle \mathsf{-1\ \textless \ \frac{2-x}{x+3} \ \textless \ 1}$



Agora resolvemos separadamente as inequações, e em seguida combinamos o domínio e encontraremos o valor do angulo.


Resolvendo a primeira inequação


$\displaystyle \mathsf{ \frac{2-x}{x+3} \ \textgreater \ -1}\\\\\\\mathsf{\frac{2-x}{x+3} +1\ \textgreater \ 0}\qquad\qquad\qquad\text{Faz o MMC}\\\\\\ \mathsf{\frac{2-x+x+3}{x+3} \ \textgreater \ 0}\\\\\\\mathsf{ \frac{5}{x+3}\ \textgreater \ 0 }$

Calculando o valor de x no denominador.

x + 3 > 0 

x > -3                      Este é o primeiro valor para x




Calculando a segunda inequação


$\displaystyle\mathsf{\frac{2-x}{x+3} \ \textless \ 1}\\\\\\\mathsf{\frac{2-x}{x+3} -1\ \textless \ 0}\\\\\\\mathsf{\frac{2-x-x-3}{x+3} \ \textless \ 0}\\\\\\\mathsf{\frac{-2x-1}{x+3} \ \textless \ 0}$


Numerador:

$\displaystyle\mathsf{-2x-1\ \textless \ 0}\\\\\mathsf{2x+1\ \textgreater \ 0}\\\\\mathsf{2x\ \textgreater \ -1}\\\\\\\boxed{\mathsf{x=-\frac{1}{2} }}$


Denominador:

x + 3 < 0
x < -3



combinando os domínios

           -3             -1/2
--------- ○------------ ○---------
----------○------------------------


-3 está nos dois domínios, então não serve.
Com isso só resta -1/2


Letra E) -1/2