Question

Os valores de x que satisfazem logx + log(x-5) = log 36 são :

Answer 1

$\bullet\;\;$ Determinar as condições de existência dos logaritmos:

as bases dos logaritmos devem ser positivas e diferentes de $\mathbf{1};$

os logaritmandos devem ser positivos:

$x>0\;\text{ e }\;x-5>0\\ \\ \Rightarrow\;\;x>0\;\text{ e }\;x>5\\ \\ \Rightarrow\;\;x>5$


$\bullet\;\;$ Resolver a equação, respeitando a condição acima:

$\mathrm{\ell og\,}x+\mathrm{\ell og\,}(x-5)=\mathrm{\ell og\,}36$


Para logaritmos de mesma base, a soma dos logaritmos é igual ao logaritmo do produto:

$\mathrm{\ell og}\left[x\,(x-5) \right ]=\mathrm{\ell og\,}36\\ \\ \mathrm{\ell og}\left[x^{2}-5x \right ]=\mathrm{\ell og\,}36$


Para que logaritmos de mesma base sejam iguais, basta que os logaritmandos sejam iguais. Então, igualando os logaritmandos, temos

$x^{2}-5x=36\\ \\ x^{2}-5x-36=0$


Podemos resolver a equação do segundo grau acima de diversas formas. Vou resolver por fatoração.


Reescrevendo o termo $-5x$ como $+4x-9x,$ temos

$x^{2}+4x-9x-36=0\\ \\ x\,(x+4)-9\,(x+4)=0\\ \\ (x+4)\,(x-9)=0\\ \\ \begin{array}{rcl} x+4=0&\;\text{ ou }\;&x-9=0\\ \\ x=-4&\;\text{ ou }\;&x=9 \end{array}$


A solução $x=-4$ não é válida pois não satisfaz as condições de existência:

$-4<5$


Logo, a única solução válida é

$x=9$


O conjunto solução é

$S=\{9\}$