Question

Os trilhos de uma estrada férrea tem comprimento de 20m à
temperatura de 21°C. Sabendo que o coeficiente de dilatação linear do
ferro é 17.10^-68°C, e que a temperatura sobe para 60°C, o comprimento
final de cada trilho;
a) 13260.10^-6m
b) 20,013m
c) 2,013m
d) 20,13.10^-6m
e) 1,3.10^-6m

Answer 1

O comprimento final da barra de ferro foi de 20,013 m. Logo, a alternativa correta é a opção b) 20,013 m.

Teoria

A dilatação linear é um fenômeno decorrente da variação de temperatura, que causa uma distorção no comprimento de um determinado material, considerando apenas a dilatação unidimensional.

Cálculo

Em termos matemáticos, a dilatação (variação de comprimento) linear é equivalente ao produto do comprimento inicial pelo coeficiente de dilatação linear pela variação de temperatura, tal como a equação I abaixo:

$\boxed {\sf \Delta L = L_0 \cdot \Large \alpha \normalsize \cdot \Delta \textsf{T}} \; \; \textsf{(equa\c{c}{\~a}o I)}$  

Onde:         

ΔL = variação do comprimento (em m);      

L₀ = comprimento inicial (em m);      

α = coeficiente de dilatação linear (em ºC⁻¹);      

ΔT = variação de temperatura (em °C).

De modo análogo, também sabemos, de acordo com os estudos em dilatação térmica, que a variação de comprimento é proporcional ao módulo da diferença entre o comprimento final e o comprimento inicial, tal como a equação II abaixo:  

$\boxed {\sf \Delta L = L_F - L_0} \; \; \textsf{(equa\c{c}{\~a}o II)}$  

Onde:  

ΔL = variação de comprimento (em m);  

LF = comprimento final (em m);  

L₀ = comprimento inicial (em m).

Aplicação

Descobrindo a variação de comprimento

Sabe-se, conforme o enunciado:

$\begin{gathered}\begin{gathered}\sf \displaystyle \rightarrow \begin{cases} \sf \Delta L = \textsf{? m} \\\sf L_0 = \textsf{20 m} \\\sf \Large \textsf{ \alpha } = \normalsize \textsf{ \textsf{17} \cdot \textsf{10}^\textsf{-6 } {\textsf{\°C}}^\textsf{-1} } \\ \sf \Delta T = T_{final} - T_{inicial} = 60 - 21 = 39\; \° C \\ \end{cases}\end{gathered}\end{gathered}$

Substituindo na equação I:

$\sf \Delta L = 20 \cdot \textsf{17} \cdot 10^\textsf{-6} \cdot 39$

Multiplicando:

$\sf \Delta L = \textsf{780} \cdot 17 \cdot 10^\textsf{-6}$

Multiplicando:

$\sf \Delta L = \textsf{13260} \cdot 10^\textsf{-6}$

Transformando em notação:

$\boxed {\sf \Delta L = \textsf{1,326} \cdot 10^\textsf{-2} \textsf{ m}} \textsf{ ou } \boxed {\sf \Delta L = \textsf{0,01326 m}}$

Descobrindo o comprimento final

Sabe-se, segundo o enunciado e o cálculo anterior:

$\begin{gathered}\begin{gathered}\sf \displaystyle \rightarrow \begin{cases} \sf \Delta L = \textsf{0,01326 m} \\ \sf L_F = \textsf{? m} \\ \sf L_0 = \textsf{20 m} \\ \end{cases}\end{gathered}\end{gathered}$

Substituindo na equação II:

$\sf \textsf{0,01326} = L_F - 20$

Isolando o segundo termo:

$\sf L_F = 20 + \textsf{0,01326}$

Somando:

$\boxed {\sf L_F = \textsf{20,01326 m}} \textsf{ ou, aproximadamente } \boxed {\sf L_F = \textsf{20,013 m}}$

Espero que a resposta seja satisfatória e correta, bons estudos!

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