Question

os termos do primeiro membro da equação 3+6...+x=381 formam uma PG. Calcule o conjunto solução dessa equação:

Answer 1

Olá Débora,

queremos x, na equação $3+6...+x=381$, certo, sabendo-se que trata-se de uma P.G. de soma

com limite, vamos identificar os termos dela..

$\begin{cases}a_1=3\\ q= \dfrac{a_2}{a_1} =\dfrac{6}{3}=2\\\\\text{S}_n=381\\ x=a_n\\n=? \end{cases}$

Usando a fórmula do termo geral da P.G., fazemos..

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}\\ x=3\cdot2^{n-1}\\ x=3\cdot2^n\cdot2^{-1}\\\\ x=3\cdot2^n\cdot \dfrac{1}{2}\\\\ \boxed{x= \dfrac{3}{2}\cdot2^n}$

Aplicando a fórmula da soma da P.G. finita, podemos achar n..

$\text{S}_n= \dfrac{a_1(q^n-1)}{q-1}\\\\\\ \Rightarrow\dfrac{3\cdot(2^n-1)}{2-1}=381\\\\ \Rightarrow\dfrac{3\cdot(2^n-1)}{1}=381\\\\ \Rightarrow3\cdot(2^n-1)=381\\\\ \Rightarrow2^n-1= \dfrac{381}{3}\\\\ \Rightarrow2^n-1=127\\ \Rightarrow2^n=127+1\\ \Rightarrow2^n=128\\ \Rightarrow\not2^n=\not2^7\\\\ n=7$ 

Como, $x= \dfrac{3}{2}\cdot2^n$, então fazemos..


$x= \dfrac{3}{2}\cdot2^7\\\\ x= \dfrac{3}{2}\cdot128\\\\ x= \dfrac{3\cdot128}{2}\\\\ x=3\cdot64\\\\ \Large\boxed{x=192}$


Tenha ótimos estudos. QQR dúvida me chame ^^