Question

Os termos da sequência (10,8,11,9,12,10,13,...) obedecem a uma lei de formação. Se an, em que n pertence N*, é o termo de ordem n dessa sequência, então a30 + a55 é igual a:

Answer 1

Temos a seguinte sequência $(a_{n}):$

$(10,\;8,\;11,\;9,\;12,\;10,\;13,\;\ldots)$

Se analisarmos bem a sequência acima, percebemos que existem duas subsequências, ambas progressões aritméticas de razão $1:$


$\bullet\;\;$ os termos de ordem ímpar formam a subsequência $(b_{k})=(a_{2k-1}),$ dada por

$(10,\;11,\;12,\;13,\;\ldots,\;a_{2k-1},\;\ldots)\;\;\;\;\;k\in \mathbb{N^{*}}\;\;\;\;\;\;\mathbf{(i)}$


A lei de formação da subsequência $\mathbf{(i)}$ é

$b_{k}=9+k$


$\bullet\;\;$ os termos de ordem par formam outra subsequência $(c_{k})=(a_{2k}),$ dada por

$(8,\;9,\;10,\;11,\;\ldots,\;a_{2k},\;\ldots)\;\;\;\;\;k\in \mathbb{N^{*}}\;\;\;\;\;\;\mathbf{(ii)}$


A lei de formação da subsequência $\mathbf{(ii)}$ é

$c_{k}=7+k$

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Voltando à sequência original, temos que a lei de formação de $a_{n}$ é

$a_{n}=\left\{ \begin{array}{ll} b_{(\frac{n+1}{2})}\,,&\text{se }n\text{ \'{e} \'{i}mpar}\\ \\ c_{(\frac{n}{2})}\,,&\text{se }n\text{ \'{e} par} \end{array} \right.$


isto é

$a_{n}=\left\{ \begin{array}{ll} 9+\dfrac{n+1}{2}\,,&\text{se }n\text{ \'{e} \'{i}mpar}\\ \\ 7+\dfrac{n}{2}\,,&\text{se }n\text{ \'{e} par} \end{array} \right.\;\;\;\;\;\;\;\text{ com }n \in \mathbb{N}^{*}\;\;\;\;\;\;\mathbf{(iii)}$

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$\bullet\;\;$ Para $n=30,$ temos que

$a_{30}=7+\dfrac{30}{2}\\ \\ \\ a_{30}=7+15\\ \\ a_{30}=22$

pois $30$ é par.


$\bullet\;\;$ Para $n=55,$ temos que

$a_{55}=9+\dfrac{55+1}{2}\\ \\ \\ a_{55}=9+28\\ \\ a_{55}=37$

pois $55$ é ímpar.


$\bullet\;\;$ Logo,

$a_{30}+a_{55}\\ \\ =22+37\\ \\ =59$