Question

os restos das divisões do polinômio p (x) = x^8 - 3x^6 + ax^5 - 5 x^4 + bx^3 + 4x^2 + cx por x - 2 e por x + 2 São iguais. sabendo que a , b e c nessa ordem , formam uma progressão aritmética cuja soma é 30, calcule a razão "r" dessa progressão e escreva o polinômio p (x)

Answer 1

Vamos lá.

Se os restos das divisões de P(x) por (x-2) e por (x+2) são iguais, então vamos substituir o "x' por "2" e depois por "-2", e, em seguida, vamos igualá-los (note que, pelo teorema do resto, se temos que P(x) deixa resto igual a "a", então P(a) = resto).
Assim, se temos o polinômio:

P(x) = x⁸ - 3x⁶ + ax⁵ - 5x⁴ + bx³ + 4x² + cx

i) Na divisão de (x-2), vamos substituir o "x" por "2".
Lembre-se: x-2 = 0 ---> x = 2. Assim:

P(2) = 2⁸ - 3*2⁶ + a*2⁵ - 5*2⁴ + b*2³ + 4*2² + c*2
P(2) = 256 - 3*64 + a*32 - 5*16 + b*8 + 4*4 + 2c
P(2) = 256 - 192 + 32a - 80 + 8b + 16 + 2c --- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
 
P(2) = 32a + 8b + 2c <--- Este é o resto da divisão de P(x) por (x-2)

ii) Agora vamos dividir P(x) por (x+2). Para isso, encontraremos P(-2), pois: x+2 = 0 ---> x = - 2 . Assim, teremos:

P(-2) = (-2)⁸ - 3*(-2)⁶ + a*(-2)⁵ - 5*(-2)⁴ + b*(-2)³ + 4*(-2)² + c*(-2)
P(-2) = 256 - 3*64 + a*(-32) - 5*16 + b*(-8) + 4*(4) - 2c
P(-2) = 256 - 192 - 32a - 80 - 8b + 16 - 2c
P(-2) = - 32a - 8b - 2c

iii) Agora vamos igualar P(2) a P(-2), já que esses dois restos são iguais. Assim, teremos:

32a + 8b + 2c = - 32a - 8b - 2c ----- passando todo o 2º membro para o 1º, teremos:

32a + 8b + 2c + 32a + 8b + 2c = 0
64a + 16b + 4c = 0 ---- para facilitar, vamos dividir ambos os membros por "4", com o que ficaremos:

16a + 4b + c = 0      . (I)

Note também que a soma de a + b + c = 30, pois isso está informado no enunciado da questão.
Para facilitar, vamos chamar os três termos da seguinte forma, já que elas estão em PA, na ordem em que estão:

1º termo: k-r <---- Este será o coeficiente "a".
2º termo: k   <----- Este será o coeficiente "b".
3º termo: k+r <--- Este será o coeficiente "c".

Agora vamos somar esses três termos e igualar a soma a 30. Assim:

k-r + k + k+r = 30
3k = 30
k = 30/3
k = 10 <--- Este será o valor de "k". Mas como "k" é igual ao 2º termo da PA (pois veja que o 2º termo = k), então k = b, pois os três termos da PA são: "a", "b" e "c". Como "b" é o 2º termo da PA (na ordem em que estão) e como chegamos que k = 10, então é porque b = 10. Assim, já temos que "b" = 10.

Dessa forma, se b = 10, então teremos que (lembre-se que: a + b + c = 30):

a + 10 + c = 30
a + c = 30-10
a + c = 20    . (II)

Agora vamos para expressão (I), que é esta:

16a + 4b + c = 0 ------ como "b" = 10, então vamos substituir, ficando:
16a + 4*10 + c = 0
16a + 40 + c = 0
16a + c = - 40    . (III)

iv) Agora veja que ficamos com um sistema formado pelas expressões (II) e (III), e que são:

a + c = 20    . (II)
e
16a + c = - 40    . (III)

Vamos fazer o seguinte: multiplicaremos a expressão (II) por"-1" e, em seguida, somaremos, membro a membro, com a expressão (III). Assim:

- a - c = - 20  --- [esta é a expressão (II) multiplicada por "-1"]
16a+c = - 40 --- [esta é a expressão (III) normal]
-------------------- somando membro a membro, teremos:
15a + 0 = - 60 --- ou apenas:
15a = - 60
a = -60/15
a = - 4 <--- Este será o valor de "a".

Finalmente, para encontrar o valor de "c", vamos em quaisquer uma das expressões [ou na (II) ou na (III)] e, em quaisquer uma delas, substituiremos "a" por "-4". Vamos na expressão (I) que é esta:

a + c = 20 -------- substituindo-se "a" por "-4", teremos:
-4 + c = 20 ---- passando "-4" para o 2º membro, teremos:
c = 20+4
c = 24 <---- Este é o valor de "c".

v) Assim, os três termos da PA serão:

a = -4; b = 10; e c = 24
E a razão será igual a "14", pois a razão (r) de uma PA é encontrada subtraindo-se o termo antecedente do seu respectivo consequente, ou seja:

c-b = b-a = --->  24-10 = 10-(-4) = 14 <--- Esta será a razão.

Assim, resumindo, teremos que:

r = 14
 
E o polinômio será, após substituirmos "a" por "-4", "b" por "10" e "c" por "24":

P(x) = x⁸ - 3x⁶ - 4x⁵ - 5x⁴ + 10x³ + 4x² + 24x <--- Este é o polinômio P(x). 

É isso aí.
Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.