Question

Os raios perpendiculares AO e OB da circunferência
maior da figura medem 1 cm. A circunferência me-
nor está inscrita no setor circular AOB. O raio da cir-
cunferência menor mede, em cm:​

Answer 1

! Acompanhe com o desenho !

Seja r o raio da circunferência menor e seja P o centro da circunferência menor.

Seja Q o ponto de tangencia da circunferência menor com o setor $\widehat{AB}$ , portanto PQ = r.

Achando o segmento OP :

$\text{OP}^2 = \text{r}^2 +\text{r}^2$

$\text {OP}^2 = 2.\text r^2$

$\text{OP} = \text r.\sqrt{2}$

O Segmento OQ é o raio da circunferência grande que vale 1 cm, e

OQ = OP + PQ  

substituindo os valores :

$1 = \text r.\sqrt{2} + \text r$

$1 = \text r.(\sqrt{2}+1)$

$\displaystyle \text r = \frac{1}{(\sqrt{2}+1)}$

$\displaystyle \text r = \frac{1}{(\sqrt{2}+1)}.\frac{(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}-1)}$

$\displaystyle \text r = \frac{(\sqrt{2}-1)}{2-1}$

Portanto o raio da circunferência menor mede :

$\huge\boxed{\bold{r = \sqrt{2}-1 \ \tex{cm}}}$

letra B