Os raios (em cm) dos três círculos concêntricos da figura são números naturais e consecutivos. Sabendo que as áreas assinaladas são iguais, pode-se afirmar que a soma dos três raios é:
a) 6cm
b) 12cm
c) 18cm
d) 9cm
e) 15cm
Soluções para a tarefa
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6
Vamos lá.
Veja, Andreborges, que a resolução é mais ou menos simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Notamos, em uma outra mensagem sua, em que a figura estava anexada, que havia o primeiro círculo (o menor), em seguida havia uma coroa circular (que seria o círculo do meio, e, finalmente, havia uma segunda coroa circular (que seria relativa ao círculo maior).
Como os raios dos três círculos concêntricos são números naturais consecutivos, então vamos chamar esses raios do seguinte modo:
Raio do primeiro círculo (que é o círculo menor): r
Raio do segundo círculo (que é o círculo do meio): r+1
Raio do terceiro círculo (que é do círculo maior) : r+2
ii) Agora veja: como a área do primeiro círculo (do círculo menor) é igual à área da coroa circular do 2º círculo e que, por sua vez, também é igual à coroa circular do terceiro círculo, então teremos que:
ii.1) Área do primeiro círculo: πr²
ii.2) Área da coroa circular do 2º círculo: π(r+1)² - πr²
ii.3) Área da coroa circular do 3º círculo: π(r+2)² - π(r+1)² - πr²
iii) Agora note: se consideramos as subtrações vistas no item "ii.3" acima, iremos ver que ela vai dar igual a zero. Então faremos isto:
π(r+2)² - π(r+1)² - πr² = 0 ---- vamos colocar π em evidência, com o que ficaremos da seguinte forma:
π*[(r+2)² - (r+1)² - r²] = 0 ---- note que se dividirmos ambos os membros por "π" iremos ficar da seguinte forma:
(r+2)² - (r+1)² - r² = 0 ----- desenvolvendo, teremos:
(r²+4r+4) - (r²+2r+1) - r² = 0 --- retirando-se os parênteses, iremos ter:
r²+4r+4 - r²-2r-1 - r² = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
-r² + 2r + 3 = 0 ---- para facilitar, poderemos multiplicar ambos os membros por "-1", com o que ficaremos assim:
r² - 2r - 3 = 0 ----- Se você aplicar Bháskara, vai encontrar as seguintes raízes:
r' = - 1
r'' = 3
Como o raio não pode ser negativo, então vamos considerar apenas a raiz positiva e igual a:
r = 3.
iv) Assim, como já encontramos que r = 3, então este será o raio do primeiro círculo. Assim, o raio do segundo círculo será: r+1 --> 3+1 = 4; e o raio do terceiro círculo será: r+2 ---> 3+2 = 5.
Logo, como você está vendo os três raios do primeiro círculo, do segundo círculo e do terceiro círculo medem, respectivamente: 3cm; 4cm e 5cm.
v) Como é pedida a soma desses raios, então teremos que (chamando essa soma de um certo "s"):
s = 3 + 4 + 5
s = 12 cm <--- Esta é a resposta. Opção "b".
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
Veja, Andreborges, que a resolução é mais ou menos simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Notamos, em uma outra mensagem sua, em que a figura estava anexada, que havia o primeiro círculo (o menor), em seguida havia uma coroa circular (que seria o círculo do meio, e, finalmente, havia uma segunda coroa circular (que seria relativa ao círculo maior).
Como os raios dos três círculos concêntricos são números naturais consecutivos, então vamos chamar esses raios do seguinte modo:
Raio do primeiro círculo (que é o círculo menor): r
Raio do segundo círculo (que é o círculo do meio): r+1
Raio do terceiro círculo (que é do círculo maior) : r+2
ii) Agora veja: como a área do primeiro círculo (do círculo menor) é igual à área da coroa circular do 2º círculo e que, por sua vez, também é igual à coroa circular do terceiro círculo, então teremos que:
ii.1) Área do primeiro círculo: πr²
ii.2) Área da coroa circular do 2º círculo: π(r+1)² - πr²
ii.3) Área da coroa circular do 3º círculo: π(r+2)² - π(r+1)² - πr²
iii) Agora note: se consideramos as subtrações vistas no item "ii.3" acima, iremos ver que ela vai dar igual a zero. Então faremos isto:
π(r+2)² - π(r+1)² - πr² = 0 ---- vamos colocar π em evidência, com o que ficaremos da seguinte forma:
π*[(r+2)² - (r+1)² - r²] = 0 ---- note que se dividirmos ambos os membros por "π" iremos ficar da seguinte forma:
(r+2)² - (r+1)² - r² = 0 ----- desenvolvendo, teremos:
(r²+4r+4) - (r²+2r+1) - r² = 0 --- retirando-se os parênteses, iremos ter:
r²+4r+4 - r²-2r-1 - r² = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
-r² + 2r + 3 = 0 ---- para facilitar, poderemos multiplicar ambos os membros por "-1", com o que ficaremos assim:
r² - 2r - 3 = 0 ----- Se você aplicar Bháskara, vai encontrar as seguintes raízes:
r' = - 1
r'' = 3
Como o raio não pode ser negativo, então vamos considerar apenas a raiz positiva e igual a:
r = 3.
iv) Assim, como já encontramos que r = 3, então este será o raio do primeiro círculo. Assim, o raio do segundo círculo será: r+1 --> 3+1 = 4; e o raio do terceiro círculo será: r+2 ---> 3+2 = 5.
Logo, como você está vendo os três raios do primeiro círculo, do segundo círculo e do terceiro círculo medem, respectivamente: 3cm; 4cm e 5cm.
v) Como é pedida a soma desses raios, então teremos que (chamando essa soma de um certo "s"):
s = 3 + 4 + 5
s = 12 cm <--- Esta é a resposta. Opção "b".
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
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