Question

Os raios das bases de um tronco de cone de revolução
medem 6 m e 4 m. Determine a altura desse tronco
para que a área total seja o dobro da área lateral.

Answer 1

Resposta:

Para que $A_{T} =2A_{l}$ a altura (h) tem que ser 4,8 m

Explicação passo a passo:

Para resolver esse problema são necessárias 3 equações:

Área lateral: $A_{l} = \pi (R+r)g$

Área total: $A_{T} = \pi R^{2} +\pi r^{2} +\pi g(R + r)$

Geratriz: Pelo corte longitudinal, passando pelos diâmetros das circunferências dasa bases, pode-se perceber que a altura com a geratriz forma um trapézio. Nesse trapézio pode ser decomposto em um retângulo e um triângulo retângulo. Utilizando só o triângulo retângulo teremos a relação que precisamos.

$g^{2} = h^{2} + (R - r)^{2}$

Cálculo da g

$A_{T} =2A_{l}$ ⇒

$2\pi (R + r)g = \pi R^{2} +\pi r^{2} +\pi g(R + r)\\ \\ 2 (R + r)g = \frac{\pi R^{2}}{\pi } + \frac{\pi r^{2}}{\pi } + \frac{\pi g(R + r)}{\pi } \\ \\ 2 (R + r)g = R^{2} + r^{2} + g(R + r)\\ \\ 2 (R + r)g - g(R + r)= R^{2} + r^{2} \\ \\ (R + r)g = R^{2} + r^{2}\\ \\ g = \frac{R^{2} + r^{2}}{(R + r)} \\ \\ g = \frac{6^{2} + 4^{2}}{(6 + 4)}\\ \\ g = \frac{36 + 16}{10}\\ \\ g = \frac{52}{10}\\ \\ g = 5,2 m$

Calculo de h

$g^{2} = h^{2} + (R - r)^{2} \\ \\ g^{2} = h^{2} + R^{2} - 2Rr + r^{2} \\ \\ h^{2} = g^{2} - R^{2} + 2Rr - r^{2} \\ \\ h = \sqrt{g^{2} - R^{2} + 2Rr - r^{2} } \\ \\ h = \sqrt{(5,2)^{2} - 6^{2} + 2*6*4 - 4^{2} }\\ \\ h = \sqrt{27,04 - 36 + 48 - 16 }\\ \\ h = \sqrt{23,04 }\\ \\ h = 4,8 m$

Para que $A_{T} =2A_{l}$ a altura (h) tem que ser 4,8 m